Question

三棱錐P-ABC中，側(cè)面PAC與底面ABC垂直，PA=PB=PC=3．
（1）求證AB⊥BC；
（2）如果AB=BC=2

3

，求AC與側(cè)面PBC所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）取AC中點(diǎn)O，連接PO、BO．推出PO⊥AC，利用側(cè)面PAC⊥底面ABC，推出PO⊥底面ABC，說(shuō)明△ABC為直角三角形，從而證明AB⊥BC
（2）取BC的中點(diǎn)為M，連接OM，PM，所以有OM，AO，PO，證明平面POM⊥平面PBC，取PM的中點(diǎn)N，連接ON，NC
證明ON⊥平面PBC，說(shuō)明∠ONC即為AC與平面PBC所成的角．通過(guò)sin∠ONC=

ON

OC

=

1

2

，推得AC與平面PBC所成的角為

π

6

．

解答：解：（1）證明：取AC中點(diǎn)O，連接PO、BO．
∵PA=PC∴PO⊥AC
又∵側(cè)面PAC⊥底面ABC
∴PO⊥底面ABC
又PA=PB=PC∴AO=BO=CO
∴△ABC為直角三角形∴AB⊥BC

（2）解：取BC的中點(diǎn)為M，連接OM，PM，所以有OM=

1

2

AB=

3

，AO=

1

2

(2 3 )2+(2 3 )2

=

6

∴PO=

PA2-AO2

=

3

由（1）有PO⊥平面ABC，OM⊥BC，由三垂線定理得PM⊥BC
∴平面POM⊥平面PBC，又∵PO=OM=

3

．
∴△POM是等腰直角三角形，取PM的中點(diǎn)N，連接ON，NC
則ON⊥PM，又∵平面POM⊥平面PBC，且交線是PM，∴ON⊥平面PBC
∴∠ONC即為AC與平面PBC所成的角.ON=

1

2

PM=

1

2

(2 3 )2+(2 3 )2

=

6

2

，OC=

6

∴sin∠ONC=

ON

OC

=

1

2

∴∠ONC=

π

6

．
故AC與平面PBC所成的角為

π

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查直線與平面所成角正弦值的求法，直線與直線的垂直的證明方法，考查空間想象能力，計(jì)算能力，熟練掌握基本定理、基本方法是解決本題的關(guān)鍵．