Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-（a+3）x+4，
（1）若y=f（x）的兩個零點為α，β，且滿足0＜α＜2＜β＜4，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若函數(shù)y=log_a+1f（x）存在最值，求實數(shù)a的取值范圍，并指出最值是最大值還是最小值．

Answer 1

分析：（1）畫出對應圖象，由圖象得出的結論可以求出實數(shù)a的取值范圍；
（2）先求真數(shù)的最值，再利用復合函數(shù)的最值求法求整個函數(shù)的最值即可，（注意底數(shù)滿足的條件）．

解答：解：（1）滿足條件的圖形如下，
所以有

f(0)＞0 f(2)＜0 f(4)＞0

或

f(0)＜0 f(2)＞0 f(4)＜0

?

2

3

＜a＜1
故所求實數(shù)a的取值范圍是 (

2

3

，1)；
（2）因為f（x）=a（x-

a+3

2a

）²+4-

(a+3)2

4a

．有最值為4-

(a+3)2

4a

，
當4-

(a+3)2

4a

＞0時，
可得，a＜0或1＜a＜9，又a+1＞0?a＞-1．
由復合函數(shù)的最值可得
當-1＜a＜0時，y=log_a+1）f（x）存在最小值
當1＜a＜9時，y=log_a+1）f（x）存在最小值．
故-1＜a＜0或1＜a＜9時，y=log_a+1）f（x）存在最小值．

點評：本題涉及到一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關系以及函數(shù)最值的應用，是對基礎知識的綜合考查．