Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足關(guān)系式S_n+1=4a_n+2，且a₁=1．
（1）設(shè)b_n=a_n+1-2a_n（n∈N⁺），證明：{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求S_n．

Answer 1

分析：（1）n≥2時(shí)，S_n=4a_n-1+2，S_n+1=4a_n+2，相減得a_n+1=4a_n-4a_n-1，構(gòu)造出數(shù)列的遞推關(guān)系式a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），可證{b_n}是等比數(shù)列．
（2）由（1）bn=3•2n-1得出an+1=2an+3•2n-1，構(gòu)造數(shù)列{

an

2n-2

}是2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，通過數(shù)列{

an

2n-2

}的通項(xiàng)求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)．
（3）在（2）的基礎(chǔ)上利用S_n+1=4a_n+2求S_n．

解答：解：（1）n≥2時(shí)，S_n=4a_n-1+2，S_n+1=4a_n+2
相減得a_n+1=4a_n-4a_n-1…．…2’
∴a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）
∴令b_n=a_n+1-2a_n，則b_n=2b_n-1
又b₁=a₂-2a₁而a₁=1，∴a₂=5，∴a₂=5
∴數(shù)列{b_n}是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列…..4’
（2）由（1）bn=3•2n-1∴an+1=2an+3•2n-1
∴

an+1

2n-1

=

an

2n-2

+3又

a1

21-2

=2
∴數(shù)列{

an

2n-2

}是2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列….6’
∴

an

2n-2

=2+(n-1)•3=3n-1
∴an=2n-2(3n-1)…7’
（3）Sn=4an-1+2=4•2n-3(3n-4)+2=2n-1(3n-4)+2（n≥2）
又S₁=a₁=1符合上式
∴n≥1時(shí)，Sn=2n-1(3n-4)+2…12’

點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列的判定，通項(xiàng)公式求解，數(shù)列求和，考查變形構(gòu)造、轉(zhuǎn)化、計(jì)算能力．一般的形如a_n+1=pa_n+q型遞推公式，均可通過兩邊加上一個(gè)合適的常數(shù)，變形構(gòu)造出一個(gè)新的等比數(shù)列．