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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

          【題目】如圖,甲船從A處以每小時30海里的速度沿正北方向航行,乙船在B處沿固定方向勻速航行,B在A北偏西105°方向用與B相距10 海里處.當甲船航行20分鐘到達C處時,乙船航行到甲船的北偏西120°方向的D處,此時兩船相距10海里.

          (1)求乙船每小時航行多少海里?
          (2)在C的北偏西30°方向且與C相距 海里處有一個暗礁E,周圍 海里范圍內為航行危險區(qū)域.問:甲、乙兩船按原航向和速度航行有無危險?若有危險,則從有危險開始,經過多少小時后能脫離危險?若無危險,請說明理由.

          【答案】
          (1)解:如圖,連接AD,CD,由題意CD=10,AC= =10,∠ACD=60°

          ∴△ACD是等邊三角形,

          ∴AD=10,

          ∵∠DAB=45°

          △ABD中,BD= =10,

          ∴v=10×3=30海里.

          答:乙船每小時航行30海里.


          (2)解:建立如圖所示的坐標系,危險區(qū)域在以E為圓心,r= 的圓內,直線BD的方程為y= x,∠DAB=∠DBA=45°

          E的坐標為(ABcos15°﹣CEsin30°,ABsin15°+CEcos30°+AC),

          求得A(5 +5,5 ﹣5),C(5 +5,5 +5),E(5+ ,9+5 ),

          E到直線BD的距離d1= =1< ,故乙船有危險;

          點E到直線AC的距離d2= ,故甲船沒有危險.

          以E為圓心,半徑為 的圓截直線BD所得的弦長分別為l=2 =2,

          乙船遭遇危險持續(xù)時間為t= = (小時),

          答:甲船沒有危險,乙船有危險,且在遭遇危險持續(xù)時間 小時后能脫離危險.


          【解析】(1)連接AD,CD,推斷出△ACD是等邊三角形,在△ABD中,利用余弦定理求得BD的值,進而求得乙船的速度.(2)建立如圖所示的坐標系,危險區(qū)域在以E為圓心,r= 的圓內,求出E到直線BD的距離,與半徑比較,即可得出結論.

          練習冊系列答案
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