Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和S_n滿(mǎn)足：S_n=

a

a-1

(an-1)（a為常數(shù)，且a≠0，a≠1）．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=

2Sn

an

+1，若數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，求a的值．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)镾_n=

a

a-1

(an-1)（a為常數(shù)，且a≠0，a≠1），由an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，能求出a_n．
（2）由a_n=aⁿ知，b_n=

(3a-1)an-2a

an(a-1)

，若{b_n}為等比數(shù)列，則有

b

2 2

=b₁b₃，由等比數(shù)列的性質(zhì)能夠求出a的值．

解答：解：（1）因?yàn)镾₁=

a

a-1

(a1-1)，所以a₁=a．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=

a

a-1

an-

a

a-1

an-1，
所以

an

an-1

=a，即{a_n}是等比數(shù)列．
所以a_n=a•a^n-1=aⁿ．
（2）由（1）知，b_n=

2• a a-1 (an-1)

an

+1=

(3a-1)an-2a

an(a-1)

，
若{b_n}為等比數(shù)列，
則有

b

2 2

=b₁b₃，而b₁=3，b₂=

3a+2

a

，b₃=

3a2+2a+2

a2

，
故(

3a+2

a

)2=3•

3a2+2a+2

a2

，
解得a=

1

3

，再將a=

1

3

代入，
得b_n=3ⁿ成立，
所以a=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查等比數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．