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				已知橢圓具有性質(zhì)：若M，N是橢圓上關(guān)于原點O對稱的兩點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM，PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN時，那么kPM與kPN之積是與點P的位置無關(guān)的定值，試寫出雙曲線具有類似特性的性質(zhì)并加以證明．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				【答案】分析：設(shè)出M和N的坐標，代入雙曲線的方程，設(shè)點P的坐標，進而表示出PM，PN的斜率，求得兩斜率之積．把點P的坐標代入雙曲線方程表示出y和n，代入PM，PN斜率之積得表達式求得結(jié)果為常數(shù)，故可推斷出kPM•kPN與點P的位置無關(guān)的定值．
          解答：解：可以通過橫向類比得：若M，N是上述雙曲線上關(guān)于原點O對稱的兩點，
          點P是雙曲線上任意一點，當直線PM，PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN時，
          那么kPM與kPN之積是與點P的位置無關(guān)的定值．
          下面給出嚴格的證明：
          設(shè)點M（m，n），則N（-m，-n），其中，又設(shè)點P的坐標
          為P（x，y），則，，
          注意到，點P（x，y）在雙曲線上，
          故，
          代入可得：（常數(shù)），
          即kPM•kPN與點P的位置無關(guān)的定值
          點評：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C：
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1（a＞b＞0）上關(guān)于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN時，那么kPM與kPN之積是與點P位置無關(guān)的定值．試對雙曲線C′：
          x2
          a2
          -
          y2
          b2
          =1寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2010•南寧二模）設(shè)F1、F2分別為橢圓C：
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1（a＞b＞0）的左、右兩個焦點．
          （Ⅰ）若橢圓C上的點A（1，
          3
          2
          ）到F1、F2兩點的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標；
          （Ⅱ）設(shè)點P是（Ⅰ）中所得橢圓上的動點，Q（0，
          1
          2
          ），求|PQ|的最大值；
          （Ⅲ）已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點對稱的兩個點，點P在橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為KPM、KPN時，那么KPM與KPN之積是與點P位置無關(guān)的定值．設(shè)對雙曲線
          x2
          a2
          -
          y2
          b2
          =1寫出具有類似特性的性質(zhì)（不必給出證明）．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知橢圓具有性質(zhì)：若A是橢圓C的一條與x軸不垂直的弦的中點，那么該弦的斜率等于點A的橫、縱坐標的比值與某一常數(shù)的積．試對雙曲線
          x2
          a2
          -
          y2
          b2
          =1          寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知橢圓具有性質(zhì)：若A，B是橢圓C：
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1（a＞b＞0且a，b為常數(shù)）上關(guān)于原點對稱的兩點，點P是橢圓上的任意一點，若直線PA和PB的斜率都存在，并分別記為kPA，kPB，那么kPA與kPB之積是與點P位置無關(guān)的定值-
          b2
          a2
          ．試對雙曲線
          x2
          a2
          -
          y2
          b2
          =1（a＞0，b＞0且a，b為常數(shù)）寫出類似的性質(zhì)，并加以證明．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點對稱的兩個點，P是橢圓上任意一點，則當直線PM，PN的斜率都存在時，其乘積恒為定值．類比橢圓，寫出雙曲線C′：
          x2
          a2
          -
          y2
          b2
          =1(a＞0，b＞0)          的類似性質(zhì)，并加以證明．
          

			
          

			
          
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