Question

已知函數(shù)f（x）=4x³+3tx²-6t²x+t-1，其中t＞0．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：對任意的t∈（0，+∞），f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)均存在零點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x），解方程f′（x）=0，以表格表示當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況，由表格即可求出單調(diào)區(qū)間；
（2）借助（1）問的結(jié)論，按照函數(shù)零點(diǎn)的存在條件，分情況進(jìn)行討論，可證明．

解答：（1）f'（x）=12x²+6tx-6t²，令f′（x）=0，得x=-t或x=

t

2

．
∵t＞0，∴-t＜

t

2

，
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-t）	(-t， t 2 )	( t 2 ，+∞)
f'（x）	+	-	+
f（x）	↗	↘	↗

∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-t），(

t

2

，+∞)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是(-t，

t

2

)．
（2）證明：由（1）可知，當(dāng)t＞0時(shí)，f（x）在(0，

t

2

)內(nèi)單調(diào)遞減，在(

t

2

，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，以下分兩種情況討論：
①當(dāng)

t

2

≥1，即t≥2時(shí)，f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，f（0）=t-1＞0，f（1）=-6t²+4t+3≤-6×4+4×2+3＜0．
所以對任意t∈[2，+∞），f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)均存在零點(diǎn)．
②當(dāng)0＜

t

2

＜1，即0＜t＜2時(shí)，f（x）在(0，

t

2

)內(nèi)單調(diào)遞減，在(

t

2

，1)內(nèi)單調(diào)遞增，
若t∈（0，1]，f(

t

2

)=-

7

4

t3+t-1≤-

7

4

t3＜0，f（1）=-6t²+4t+3≥-6t+4t+3=3-2t＞0，所以f（x）在(

t

2

，1)內(nèi)存在零點(diǎn)．
若t∈（1，2），f(

t

2

)=-

7

4

t3+t-1＜-

7

4

t3+1＜0，f（0）=t-1＞0，所以f（x）在(0，

t

2

)內(nèi)存在零點(diǎn)．
所以，對任意t∈（0，2），f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)均存在零點(diǎn)．
綜上，對任意t∈（0，+∞）在區(qū)間（0，1）內(nèi)均存在零點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)存在條件以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題，本題中滲透了分類討論思想．