Question

如圖，四面體ABCD中，O、E分別為BD、BC的中點，且CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=

2

．
（1）求證：AO⊥平面BCD；
（2）求異面直線AB與CD所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）連接OC，由BO=DO，AB=AD，知AO⊥BD，由BO=DO，BC=CD，知CO⊥BD．在△AOC中，由題設知AO=1，CO=

3

，AC=2，故AO²+CO²=AC²，由此能夠證明AO⊥平面BCD．
（2）取AC的中點M，連接OM、ME、OE，由E為BC的中點，知ME∥AB，OE∥DC，故直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角．在△OME中，EM=

1

2

AB=

2

2

，OE=

1

2

DC=1，由此能求出異面直線AB與CD所成角大小的余弦．

解答：（1）證明：△ABD中
∵AB=AD=

2

，O是BD中點，BD=2
∴AO⊥BD 且 AO=

AB2-BO2

=1
△BCD中，連結OC∵BC=DC=2
∴CO⊥BD 且 CO=

BC2-BO2

=

3

△AOC中 AO=1，CO=

3

，AC=2
∴AO ²+CO²=AC² 故 AO⊥CO
∴AO⊥平面BCD
（2）取AC中點F，連結OF、OE、EF
△ABC中 E、F分別為BC、AC中點
∴EF∥AB，且 EF=

1

2

AB=

2

2

△BCD中 O、E分別為BD、BC中點
∴OE∥CD 且 OE=

1

2

CD=1
∴異面直線AB與C D所成角等于∠OEF（或其補角）
又OF是Rt△AOC斜邊上的中線
∴OF=

1

2

AC=1
∴等腰△OEF中 cos∠OEF=

1 2 EF

OE

=

2

4

．

點評：本題考查點、線、面間的距離的計算，考查空間想象力和等價轉化能力，解題時要認真審題，仔細解答，注意化立體幾何問題為平面幾何問題．