Question

如圖,直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,AB=AC,AA₁=2AB,∠BAC=90°.

(1)在側(cè)棱BB₁上找一點D,使得BC₁⊥AD,并說明理由;

(2)若點D滿足條件(1),求二面角A-DC₁-C的大小.

Answer 1

解:(1)D點滿足4BD=BB₁,

證明如下:連結(jié)BA₁,∵ABC—A₁B₁C₁是直三棱柱,∴面A₁B₁C₁⊥面ABB₁A₁.

又∵∠BAC=90°,∴C₁A₁⊥A₁B₁.∴C₁A₁⊥面ABB₁A₁.∴C₁A₁⊥BA₁.

由AA₁=2AB,4BD=BB₁,得=2,∴△A₁AB∽△ABD.∴AD⊥A₁B.

又∵A₁B∩A₁C₁=A₁,∴AD⊥面A₁BC₁.∴BC₁⊥AD.

由以上證明可知D點唯一存在.(注)也可以用三垂線定理證明.

(2)方法一:過A作AO⊥BC于O,∵ABC—A₁B₁C₁是直三棱柱,∴AO⊥面BCC₁B₁.

設(shè)AB=a,可得AO=a,

過O作OE⊥DC₁于E,連結(jié)AE,

由三垂線定理可得∠AEO為二面角ADC₁C的平面角,

連結(jié)OC₁、OD,∵-S_△BOD-

=2aaa-a=a=×DC₁×OE=a×OE,∴OE=a.

∴tan∠AEO=.∴二面角A-DC₁-C的大小為arctan.

方法二:過A作AO⊥BC于O,

∵ABC—A₁B₁C₁是直三棱柱,∴AO⊥面BCC₁B₁.

設(shè)AB=a,可得AO=a,

過A作AE⊥DC₁于E,連結(jié)EO,

由三垂線定理逆定理可得∠AEO為二面角ADC₁C的平面角,

在△ADC₁中,AD=,AC₁=5a,DC₁=,

∴cosA==.∴sinA=.∴AE==a.

∴sin∠AEO==.∴二面角A-DC₁-C的大小為arcsin.