Question

若正數(shù)數(shù)列{a_n}滿足Sn=

1

2

(an+

1

an

)，其中S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和．
（1）求S_n；
（2）若bn=(

S

2 n

)

1

S 2 n+1

，是否存在b_k=b_m（k≠m）？若存在，求出所有相等的兩項；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）令n=1，及a_n＞0，可求a₁，由Sn=

1

2

(an+

1

an

)=

1

2

(Sn-Sn-1+

1

Sn-Sn-1

)可得Sn+Sn-1=

1

Sn-Sn-1

，即S_n²-S_n-1²=1，則可得{S_n²}是以1首項，以1為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項可求S_n²，進而可求S_n
（2）由（1）可得ln(bn)=

lnn

n+1

，要判斷k≠m是否存在b_k=b_m，考慮函數(shù)g(x)=

lnx

x+1

（x≥1）的單調(diào)性，結(jié)合導數(shù)的知識可求

解答：解：（1）令n=1，又a_n＞0，得a₁=1．
∵Sn=

1

2

(an+

1

an

)=

1

2

(Sn-Sn-1+

1

Sn-Sn-1

)，即Sn+Sn-1=

1

Sn-Sn-1

∴S_n²-S_n-1²=1，S₁²=a₁²=1
∴{S_n²}是以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列
∴S_n²=S₁²+（n-1）•1=1+n-1=n
∴Sn=

n

．
（2）bn=(

S

2 n

)

1

S 2 n+1

=n

1

n+1

，則ln(bn)=

lnn

n+1

考慮函數(shù)g(x)=

lnx

x+1

（x≥1），則g′(x)=

x+1-xlnx

x(x+1)2

．
令h（x）=x+1+xlnx（x≥1），則h'（x）=-lnx≤0，∴h（x）在[1，+∞）遞減
∵h（1）=2＞0，h（2）=3-2ln2＞0，h（3）=4-3ln3＞0，h（4）=5-4ln4＜0
∴x≥4時，h（x）≤h（4）＜0，則g'（x）＜0，g（x）在[4，+∞）遞減；
1≤x≤3時，h（x）≥h（3）＞0，則g'（x）＞0，g（x）在[1，3]遞增．
∴g（1）＜g（2）＜g（3），g（4）＞g（5）＞g（6）＞…
即lnb₁＜lnb₂＜lnb₃，lnb₄＞lnb₅＞lnb₆＞…
∴b₁＜b₂＜b₃，b₄＞b₅＞b₆＞…
∵b3=3

1

4

＜b4=4

1

5

∴b₁＜b₂＜b₃＜b₄＞b₅＞b₆＞…
又b₁=1，當n≠1時，b_n＞1．
∴若存在兩項相等，只可能是b₂、b₃與后面的項相等
又b2=2

1

3

=8

1

9

=b8，∴b₂=b₈
∵b3=3

1

4

＞b5=5

1

6

，∴數(shù)列b_n中存在唯一相等的兩項b₂=b₈

點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列的通項公式的應用及利用函數(shù)的導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及數(shù)列單調(diào)性的應用，屬于函數(shù)與數(shù)列的綜合應用的考查．