Question

已知函數(shù) f（x）的導(dǎo)數(shù)．f′（x）=3x²-3ax，f（0）=b，a，b為實(shí)數(shù)，1＜a＜2．
（1） 若f（x）在區(qū)間_[-1，1]_上的最小值、最大值分別為-2、1，求a，b的值；
（2） 在（1）的條件下，求曲線在點(diǎn)P（2，1）處的切線方程．

Answer 1

分析：（1）由已知的f（x）的導(dǎo)函數(shù)的解析式及f（0）=b，表示出f（x）的解析式，令導(dǎo)函數(shù)等于0，求出x的值，根據(jù)a的范圍，檢驗(yàn)得到滿足題意的x的值，在閉區(qū)間[-1，1]上，根據(jù)x的值分區(qū)間討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性分別求出函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[-1，1]上的最大值和最小值，又最小值、最大值分別為-2、1，即可求出a與b的值；
（2）由（1）求出的a與b代入得到f（x）的解析式及導(dǎo)函數(shù)的解析式，把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)中即可求出切線的下課，根據(jù)切點(diǎn)和求出的斜率寫(xiě)出切線l的方程即可．

解答：解：（1）由已知f′（x）=3x²-3ax，f（0）=b，
得f（x）=x³-

3

2

ax²+b，
由f′（x）=0即3x²-3ax=3x（x-a），解得x=0或x=a，
∵x∈[-1，1]，1＜a＜2，
∴當(dāng)x∈[-1，0）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)增；當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)減，
∴f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值為f（0）=b，∴b=1，
又f（1）=1-

3

2

a+1，f（-1）=-1-

3

2

a+1=-

3

2

a，∴f（-1）＜f（1）
由題意得最小值為f（-1）=-2，即-

3

2

a=-2，解得a=

4

3

．
故a=

4

3

，b=1為所求；
（2）由（1）得f（x）=x³-2x²+1，f′（x）=3x²-4x，
點(diǎn)P（2，1）在曲線f（x）上，
當(dāng)切點(diǎn)為P（2，1）時(shí)，切線l的斜率k=f′（x）_|x=2=4，
∴切線l的方程為y-1=4（x-2），即4x-y-7=0．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過(guò)某點(diǎn)切線方程的斜率，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，是一道中檔題．