Question

（本小題滿分13分）已知某幾何體的直觀圖和三視圖如下圖所示, 其正視圖為矩形,左視圖為等腰直角三角形,俯視圖為直角梯形.

（Ⅰ）證明：⊥平面；

（Ⅱ）求平面與平面所成角的余弦值；[來源:Zxxk.Com]

 

Answer 1

【答案】

證明：見解析；（Ⅱ）二面角C－NB₁－C₁的余弦值為． 

【解析】本試題主要是考查了三視圖和線面垂直的證明以及二面角的求解的綜合運(yùn)用。

（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用線線垂直的證明來得到線面垂直的證明的判定。

（2）先求解兩個(gè)半平面的法向量，然后利用法向量的夾角來求解二面角的平面角的大小的運(yùn)用。

解：證明：因?yàn)樵搸缀误w的正視圖為雋星，左視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形，所以BA,BC,BB₁兩兩垂直，以BA,BC,BB₁分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系。。。。。。。2分

（Ⅱ）∵⊥平面,

∴是平面的一個(gè)法向量,     ------------8分

設(shè)為平面的一個(gè)法向量, Zxxk

則,

所以可取．                      ------------10分

則．

∴所求二面角C－NB₁－C₁的余弦值為．    ------------12分