Question

已知二次函數(shù)y=f（x）圖象的頂點是（-1，3），又f（0）=4，一次函數(shù)y=g（x）的圖象過（-2，0）和（0，2）．
（1）求函數(shù)y=f（x）和函數(shù)y=g（x）的解析式；
（2）當(dāng)x＞0時，試求函數(shù)y=

f(x)

g(x)-2

的最小值．

Answer 1

分析：（1）待定系數(shù)法：設(shè)f（x）=a（x+1）²+3（a≠0），由f（0）=4可求a；設(shè)g（x）=mx+n（m≠0），由圖象過兩點可得m，n方程組，解出即可；
（2）y=

f(x)

g(x)-2

=

(x+1)2+3

x+2-2

=x+

4

x

+2，利用基本不等式可求得最小值；

解答：解：（1）設(shè)f（x）=a（x+1）²+3（a≠0），
由f（0）=4得，a+3=4，解得a=1，
所以f（x）=（x+1）²+3；
設(shè)g（x）=mx+n（m≠0），
由g（x）圖象過點（-2，0）和（0，2），得-2m+n=0，n=2，
所以m=1，n=2，
所以g（x）=x+2．
（2）由于x＞0，所以y=

f(x)

g(x)-2

=

(x+1)2+3

x+2-2

=x+

4

x

+2≥2

x• 4 x

+2=6，
當(dāng)且僅當(dāng)x=

4

x

，即x=2時取等號，
所以y=

f(x)

g(x)-2

的最小值為6；

點評：本題考查二次函數(shù)、一次函數(shù)解析式的求法及基本不等式求函數(shù)的最值，屬基礎(chǔ)題．