Question

（本小題滿分15分）已知函數(shù)，,．

??????（Ⅰ） 求函數(shù)的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)；??（Ⅱ） 若函數(shù)在上有零點(diǎn)，求的最大值（ 為自然對數(shù)的底數(shù)）；??????（Ⅲ） 設(shè)（），試問數(shù)列中是否存在相等的兩項(xiàng)？若存在，求出所有相等的兩項(xiàng)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(Ⅰ) 為的極大值點(diǎn)，  為 的極小值點(diǎn)   (Ⅱ) -2（Ⅲ）

解析:

：（1）由題知：的定義域?yàn)椋?,+∞）

∵

∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為　,的單調(diào)遞減區(qū)間為，

所以為的極大值點(diǎn)，  為 的極小值點(diǎn)．

（2）∵在∈上的最小值為

且=

∴在∈上沒有零點(diǎn)，

∴函數(shù)在上有零點(diǎn)，并考慮到在單調(diào)遞增且在單調(diào)遞減，故只須且即可，易驗(yàn)證

，當(dāng)≤-2且∈Z時(shí)均有，所以函數(shù)在上有零點(diǎn)，

即函數(shù)在上有零點(diǎn),∴的最大值為-2．

（3）利用導(dǎo)數(shù)易證，當(dāng)時(shí), 所以．  因?yàn)?img border=0 width=59 height=36 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/116/146316.gif" >，所以

令，得：，結(jié)合得：

因此，當(dāng)時(shí)，有，

所以當(dāng)時(shí)，，即：，

又通過比較、、、的大小知：，

因?yàn)?img border=0 width=37 height=24 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/132/146332.gif" >，且時(shí)，所以若數(shù)列中存在相等的兩項(xiàng)，只能是、與后面的項(xiàng)可能相等，又，，所以數(shù)列中存在唯一相等的兩項(xiàng)，

即：．