Question

（2013•南充一模）已知函數(shù)f（x）=x（1nx+1）（x＞0）．
（I）求函數(shù)f（x）的最小值；
（II）設(shè)F（x）=ax²+f′（x）（a∈R），討論函數(shù)F（x）的單調(diào)性；
（III）若斜率為k的直線(xiàn)與曲線(xiàn)y=f′（x）交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）兩點(diǎn)，求證：x1＜

1

k

＜x2．

Answer 1

分析：（I）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)f（x）的最小值；
（II）確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，對(duì)a討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（III）確定y=f′（x）的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，確定y=f′（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，從而可得結(jié)論．

解答：（I）解：求導(dǎo)函數(shù)可得：f′（x）=lnx+2（x＞0）
令f′（x）＞0可得x＞e^-2；令f′（x）＜0可得0＜x＜e^-2，
∴函數(shù)在（0，e^-2）上單調(diào)減，在（e^-2，+∞）上單調(diào)增
∴x=e^-2時(shí)，函數(shù)f（x）取到最小值，最小值為-e^-2；
（II）解：設(shè)F（x）=ax²+f′（x）=ax²+lnx+2，則F′（x）=2ax+

1

x

=

2ax2+1

x

（x＞0）
當(dāng)a≥0時(shí)，∵x＞0，∴F′（x）＞0恒成立，∴函數(shù)F（x）單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）；
當(dāng)a＜0時(shí)，∵x＞0，令F′（x）＞0，可得0＜x＜

- 1 2a

；令F′（x）＞0，可得x＞

- 1 2a

∴函數(shù)F（x）單調(diào)增區(qū)間為(0，

- 1 2a

)，單調(diào)減區(qū)間為(

- 1 2a

，+∞)；
（III）證明：y=f′（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）
∵f″（x）=

1

x

＞0，∴y=f′（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)
∴0＜f′（x₂）＜k＜f′（x₁）
∴0＜

1

x2

＜k＜

1

x1

∴x1＜

1

k

＜x2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．