Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²-4，（a∈R）
（Ⅰ）若y=f（x）的圖象在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線的傾斜角為

π

4

，求a；
（Ⅱ）設(shè)f（x）的導(dǎo)函數(shù)是f′（x），在（Ⅰ）的條件下，若m，n∈[-1，1]，求f（m）+f′（n）的最小值．
（Ⅲ）若存在x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＞0，求a的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）∵f'（x）=-3x²+2ax（1分），
由已知f′(x)=tan

π

4

=1，即-3+2a=1（2分），
∴a=2（3分）；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=-x³+2x²-4（4分），
f′(x)=-3x2+4x=-3x(x-

4

3

)（5分），
x∈[-1，1]時(shí)，如下表：
（7分）
可見，n∈[-1，1]時(shí)，f′（x）最小值為f′（-1）=-7，
m∈[-1，1]時(shí)，f（m）最小值為f（0）=-4，
∴f（m）+f′（n）的最小值為-11（10分）；

（Ⅲ）∵f′(x)=-3x(x-

2a

3

)，
（1）若a≤0，當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，+∞）單減，
又由f（0）=-4，則x＞0時(shí)f（x）＜-4，
∴當(dāng)x≤0時(shí)，不存在x₀＞0使f（x₀）＞0（11分）；
（2）若a＞0時(shí)，
當(dāng)0＜x＜

2a

3

時(shí)，f′(x)＞0．當(dāng)x＞

2a

3

時(shí)，f′(x)＜0，
∴f（x）在(0，

2a

3

]上單增，在[

2a

3

，+∞)單減；
∴x∈（0，+∞）時(shí)，f(x)max=f(

2a

3

)=

4a3

27

-4（12分），
由已知，必須

4a3

27

-4＞0∴a3＞27，
∴a＞3，
即a＞3時(shí)，存在x₀∈（0，+∞）使f（x₀）＞0．