Question

（2012•臨沂二模）設(shè)圓x²+y²=2的切線l與軸的正半軸、軸的正半軸分別交于點(diǎn)A、B，當(dāng)|AB|取最小值時(shí)，切線l的方程為

2x+2y-1=0

．

Answer 1

分析：根據(jù)圓的切線與x軸，y軸交點(diǎn)分別為A和B，設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出切線的截距式方程，且根據(jù)勾股定理表示出|AB|，由直線與圓相切，得到圓心到直線的距離等于圓的半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到所設(shè)切線的距離d，使d等于圓的半徑r，化簡(jiǎn)可得a與b的關(guān)系式，利用此關(guān)系式把|AB|²進(jìn)行變形，利用基本不等式求出|AB|²的最小值，且得到取最小值時(shí)a與b的值，把此時(shí)a與b的值代入所設(shè)的方程中，即可確定出切線的方程．

解答：解：設(shè)A（a，0），B（0，b），a＞0，b＞0，則切線的方程為

x

a

+

y

b

=1，|AB|=

a2+b 2

．
又圓x²+y²=2的圓心坐標(biāo)為（0，0），半徑r=

2

，由圓心到直線的距離d=

|0+0-1|

( 1 a )2+ ( 1 b ) 2

=r=

2

，
∴(

1

a

)2+(

1

b

)2=

1

2

．
則|AB|²=（a²+b²）2[(

1

a

)2+(

1

b

)2]=2 （1+

a2

b2

+

b2

a2

+1）≥2（2+2）=8，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=

1

2

時(shí)，等號(hào)成立．
故當(dāng)|AB|取最小值時(shí)，切線l的方程為

x

1 2

+

y

1 2

=1，即 2x+2y-1=0，
故答案為 2x+2y-1=0．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：直線的截距式方程，點(diǎn)到直線的距離公式，以及基本不等式，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到切線的距離等于圓的半徑，熟練掌握這一性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．