Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的值域；

（2）若為奇函數(shù)，求實數(shù)的值；

（3）若關(guān)于的方程在區(qū)間上無解，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）由，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可求出函數(shù)的值域；

（2）由求出，再利用奇函數(shù)的定義證明函數(shù)為奇函數(shù)；

（3）由（2）知函數(shù)為奇函數(shù)，且為增函數(shù)，由可得出，可得出方程在上無解，構(gòu)造函數(shù)，分、、三種情況討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)列出關(guān)于的不等式（組）求解.

（1），，則，因此，函數(shù)的值域為；

（2）為奇函數(shù)，且定義域為，

則，解得，此時，，

則，

所以，函數(shù)為奇函數(shù)；

（3）由（2）知，函數(shù)為奇函數(shù)，

由，可得，

即，

由于函數(shù)在上為增函數(shù)，

，即，

由題意可知，方程在上無解.

構(gòu)造函數(shù)，該二次函數(shù)圖象開口向上，對稱軸為直線.

①當時，即當時，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以，，即，解得或，此時；

②當時，即當時，由于，

則，解得，此時；

③當時，即當時，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

所以，，即，解得或，此時.

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.