Question

把正整數(shù)按“S”型排成了如圖所示的三角形數(shù)表，第n行有n個(gè)數(shù)，設(shè)第n行左側(cè)第一個(gè)數(shù)為a_n，如a₅=15，則該數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和T_n（n為偶數(shù)）為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：方法一：（特值法）根據(jù)T₂=a₁+a₂=3，把n=2代入選項(xiàng)，排除C、D，再代入n=4，可判斷選項(xiàng)；
方法二：因?yàn)楫?dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a_n=a_n-1+1，然后利用分組求和法求出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和T_n（n為偶數(shù)），可得結(jié)論．
解答：方法一：（特值法）因?yàn)門(mén)₂=a₁+a₂=3，把n=2代入選項(xiàng)，排除C、D，再代入n=4，因?yàn)門(mén)₄=16，B選項(xiàng)滿(mǎn)足，故選B．
方法二：因?yàn)楫?dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a_n=a_n-1+1，
故n是偶數(shù)時(shí)，T_n=a₁+（a₁+1）+a₃+（a₃+1）+…+a_n-1+（a_n-1+1）
=2a₁+1+2a₃+1+…+2a_n-1+1
=
=
=（1²+1）+（3²+3）+…+[（n-1）²+（n-1）]
=[1²+3²+5²+…+（n-1）²]+[1+3+…+（n-1）]
令S=1²+2²+…+（n-1）²+n²，A=1²+3²+5²+…+（n-1）²，B=2²+4²+6²+…+n²，
A-B=1²-2²+3²-4²+5²-6²+…+（n-1）²-n²=-1-2-3-4-…-（n-1）-n=，
又，得=
則 T_n===．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的求和，以及特殊值法的應(yīng)用，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．