Question

若點P在以F₁，F(xiàn)₂為焦點的橢圓上，PF₂⊥F₁F₂，tan∠PF1F2=

3

4

，則橢圓的離心率為

1

2

．

Answer 1

分析：在Rt△PF₁F₂中，F(xiàn)₁F₂=2c為焦距，利用正切的定義結(jié)合tan∠PF1F2=

3

4

，可得PF₂=

3

2

c，再由勾股定理算出PF₁=

5

2

c，根據(jù)橢圓的定義得2a=PF₁+PF₂=4c，最后根據(jù)離心率的計算公式，可以算出該橢圓的離心率．

解答：解：∵PF₂⊥F₁F₂，tan∠PF1F2=

3

4

，
∴

PF2

F1F2

=

3

4

，結(jié)合F₁F₂=2c為焦距，可得PF₂=

3

2

c
因此，根據(jù)勾股定理可得PF₁=

PF22+F1F12

=

5

2

c
∴根據(jù)橢圓的定義，得橢圓的長軸2a=PF₁+PF₂=

3

2

c+

5

2

c=4c
由此可得橢圓的離心率為e=

c

a

=

2c

2a

=

2c

4c

=

1

2

故答案為：

1

2

點評：本題根據(jù)橢圓的焦距與橢圓上一點構(gòu)成直角三角形，在已知一個角正切的基礎(chǔ)之上求橢圓的離心率，著重考查了直角三角形的性質(zhì)和橢圓的基本概念，屬于基礎(chǔ)題．