Question

（本小題滿分13分）已知圓C：過點A（3，1），且過點P（4，4）的直線PF與圓C相切并和x軸的負半軸相交于點F．
（1）求切線PF的方程；
（2）若拋物線E的焦點為F,頂點在原點，求拋物線E的方程。
（3）若Q為拋物線E上的一個動點，求的取值范圍．

Answer 1

解：（1）點A代入圓C方程，得．∵m＜3，∴m＝1．圓C：．設(shè)直線PF的斜率為k，則PF：，
即．∵直線PF與圓C相切，∴．解得． 當k＝時，直線PF與x軸的交點橫坐標為，不合題意，舍去．
當k＝時，直線PF與x軸的交點橫坐標為－4，∴符合題意，∴直線PF的方程為y=x+2…………………6分
(2)設(shè)拋物線標準方程為y²=-2px, ∵F（－4，0）, ∴p="8," ∴拋物線標準方程為y²=-16x…………………8分
(3)，設(shè)Q（x，y），，．
∵y²=-16x, ∴．
∴的取值范圍是(－∞，30]．…………………13分

解析