Question

甲、乙兩人參加普法知識競賽，共設(shè)有10個不同的題目，其中選擇題6個，判斷題4個，
（Ⅰ）若甲、乙二人依次各抽一題，計算：
①甲抽到判斷題，乙抽到選擇題的概率是多少？
②甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少？
（Ⅱ）若甲從中隨機抽取5個題目，其中判斷題的個數(shù)為ξ，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知本題可以看做等可能事件的概率，試驗發(fā)生包含的事件數(shù)A₁₀²，①滿足條件的事件是甲抽到選擇題，乙抽到判斷題，共有C₆¹C₄¹種結(jié)果，②滿足條件的事件是甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題，共有A₆²+C₆¹C₄¹+C₄¹C₆¹種結(jié)果，根據(jù)概率公式得到結(jié)果．
（Ⅱ）甲從中隨機抽取5個題目，其中判斷題的個數(shù)為ξ，ξ可取0、1、2、3、4，結(jié)合變量對應(yīng)的事件寫出變量對應(yīng)的概率，寫出分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）由題意知本題可以看做等可能事件的概率，
試驗發(fā)生包含的事件數(shù)A₁₀²，
①滿足條件的事件是甲抽到選擇題，乙抽到判斷題，共有C₆¹C₄¹種結(jié)果，
∴P（A）=

C 1 6 • C 1 4

A 2 10

=

4

15

②滿足條件的事件是甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題，共有A₆²+C₆¹C₄¹+C₄¹C₆¹種結(jié)果
∴概率P（B）=

A 2 6 + C 1 6 • C 1 4 +  C 1 4 • C 1 6

A 2 10

=

13

15

（Ⅱ）甲從中隨機抽取5個題目，其中判斷題的個數(shù)為ξ，ξ可取0、1、2、3、4
P（ξ）=

C 5 6 • C 0 4

A 5 10

=

1

42

；P（ξ=1）=

C 4 6 • C 1 4

A 5 10

=

5

21

；
P（ξ=2）=

C 3 6 • C 2 4

A 5 10

=

10

21

；P（ξ=3）=

C 2 6 • C 3 4

A 5 10

=

5

21

；
P（ξ=4）=

C 1 6 • C 4 4

A 5 10

=

1

42

．
∴ξ的分布列為

∴E_ξ=0×

1

42

+1×

5

21

+2×

10

21

+3×

5

21

+4×

1

42

=

84

42

=2．

點評：本題考查等可能事件的概率，考查離散型隨機變量的分布列和期望，是一個綜合題，本題的知識點和難易程度，可以作為一個高考題的解答題目出現(xiàn)．