Question

已知平面直角坐標(biāo)系下的一列點(diǎn)P_n（a_n，b_n）滿(mǎn)足，且．
（Ⅰ） 求點(diǎn)P₂坐標(biāo)，并寫(xiě)出過(guò)點(diǎn)P₁，P₂的直線(xiàn)L的方程；
（Ⅱ） 猜想點(diǎn)P_n（n≥2）與直線(xiàn)L的位置關(guān)系，并加以證明；
（Ⅲ） 若c₁=1，c_n+1=b_nc_n，S_n=c₁a₂+c₂a₃+…+c_na_n+1，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由，知，，，由此能求出過(guò)點(diǎn)P₁，P₂直線(xiàn)L的方程．
（Ⅱ）由P₂坐標(biāo)為（）得，所以點(diǎn)P₃∈L，猜想點(diǎn)P_n（n≥3，n∈N）在直線(xiàn)L上，再用數(shù)學(xué)歸納法證明．
（Ⅲ）由，a_k+b_k=1，知a_n≠0，a_n≠±1，所以，是等差數(shù)列，由此入手能夠?qū)С?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181902481188561/SYS201310241819024811885020_DA/9.png">的值．
解答：解：（Ⅰ）∵，
∴，
∴，，
∴P₂坐標(biāo)為（），（2分）
∴過(guò)點(diǎn)P₁，P₂直線(xiàn)L的方程為x+y=1，（4分）
（Ⅱ）由P₂坐標(biāo)為（）得，
∴點(diǎn)P₃∈L，
猜想點(diǎn)P_n（n≥3，n∈N）在直線(xiàn)L上，以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：
當(dāng)n=3時(shí)，點(diǎn)P₃∈L，（5分）
假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)，命題成立，即點(diǎn)P_k∈L，
∴a_k+b_k=1，（6分）
則當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1+b_k+1=a_kb_k+1+b_k+1
=，（7分）
∴點(diǎn)P_n∈L（n≥3），（8分）
（Ⅲ）由，a_k+b_k=1，
∴a_n≠0，a_n≠±1，
∴，
∴，
∴是等差數(shù)列，
∴，（9分）
∴，
∵c_n+1=b_nc_n，
∴，
=，（10分）
∴（11分）
∴S_n=c₁a₂+c₂a₃+…+c_na_n+1
=+（）]
=，
∴=
==．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列和解析幾何的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件．