Question

14分）已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，一個頂點(diǎn)為A（0，－1），且其右焦點(diǎn)到直線x－y＋=0的距離為3．（I）求橢圓的方程；

（II）是否存在斜率為k（k≠0）的直線l，使l與已知橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N，

且|AN|＝|AM|？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

 

（1）

（2）故滿足條件的直線l存在，其斜率k的范圍為－1＜k＜1且k≠0．

【解析】（I）解：由題意，設(shè)橢圓方程為：（a＞1），

則右焦點(diǎn)為F （，0），由已知　，解得：a＝

∴橢圓方程為：                               …………5分

   （II）解：設(shè)存在滿足條件的直線l，其方程為y＝kx＋b（k≠0）

由　　得：　①        …………7分

設(shè)M（x1，y1）、N（x2，y2）是方程①的兩根，則

�、�      …………9分

由韋達(dá)定理得：

從而MN的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）             ……10分

∵｜AM｜＝｜AN｜　∴AP是線段MN的垂直平分線　∴AP⊥MN

 于是　，                 ………12分

代入②并整理得：（3k2＋1）（k2－1）＜0，∴－1＜k＜1

  故滿足條件的直線l存在，其斜率k的范圍為－1＜k＜1且k≠0．  ………14分