Question

（2011•江蘇二模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓的中心在原點O，右焦點F在x軸上，橢圓與y軸交于A、B兩點，其右準線l與x軸交于T點，直線BF交于橢圓于C點，P為橢圓上弧AC上的一點．
（1）求證：A，C，T三點共線；
（2）如果

BF

=3

FC

，四邊形APCB的面積最大值為

6 +2

3

，求此時橢圓的方程和P點坐標．

Answer 1

分析：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，求出直線AT，BF的交點，驗證交點在橢圓上，從而可知A，C，T三點共線；
（2）過C作CE⊥x軸，垂足為E，△OBF∽△ECF，求得C的坐標，代入橢圓方程可得a²=2c²，b²=c²
設(shè)P（x₀，y₀），可求|AC|=

2

3

5

c，S△ABC=

1

2

•2c•

4c

3

=

4

3

c2，又可求S△APC=

1

2

d•|AC|=

1

2

•

x0+2y0-2c

5

•

2 5 c

3

=

x0+2y0-2c

3

•c，要求四邊形APCB的面積最大值，只要求x₀+2y₀的最大值，從而可求橢圓方程，P的坐標．

解答：（1）證明：設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)①
∴A(0，b)，B(0，-b)，T(

a2

c

，0)
∴AT：

x

a2 c

+

y

b

=1②；BF：

x

c

+

y

-b

=1③
解得交點C(

2a2c

a2+c2

，

b3

a2+c2

)，代入①得

( 2a2c a2+c2 )2

a2

+

( b3 a2+c2 )2

b2

=1
滿足①式，∴C在橢圓上，A，C，T三點共線；
（2）解：過C作CE⊥x軸，垂足為E，△OBF∽△ECF
∵

BF

=3

FC

，
∴CE=

1

3

b，EF=

1

3

c
∴C(

4c

3

，

b

3

)
代入①得

( 4c 3 )2

a2

+

( b 3 )2

b2

=1
∴a²=2c²，b²=c²
設(shè)P（x₀，y₀），∴

x

2 0

+2

y

2 0

=2c2
∵C(

4c

3

，

c

3

)
∴|AC|=

2

3

5

c，S△ABC=

1

2

•2c•

4c

3

=

4

3

c2
直線AC的方程為：x+2y-2c=0
P到直線AC的距離為d=

|x0+2y0-2c|

5

=

x0+2y0-2c

5

S△APC=

1

2

d•|AC|=

1

2

•

x0+2y0-2c

5

•

2 5 c

3

=

x0+2y0-2c

3

•c
要求四邊形APCB的面積最大值，只要求x₀+2y₀的最大值
∵(x0+2y0)2≤

x

2 0

+4

y

2 0

+2(

x

2 0

+

y

2 0

)=3(

x

2 0

+2

y

2 0

)=6c2
∴x0+2y0≤

6

c
當且僅當x0=y0=

6

3

c時，x₀+2y₀的最大值為

6

c
∴四邊形APCB的面積最大值為

6 -2

3

c2+

4

3

c2=

6 +2

3

c2=

6 +2

3

∴c²=1，a²=2，b²=1
∴橢圓方程為

x2

2

+y2=1，P的坐標為(

6

3

，

6

3

)．

點評：本題以直線與橢圓的位置關(guān)系為載體，考查直線的交點，考查三角形面積的計算，考查三角形面積最大值的計算，綜合性強．