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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
          (2012•孝感模擬)已知函數 f(x)=
          1
          2
          x2-2alnx+(a-2)x
          ,a∈R.
          (Ⅰ)當 a=1 時,求函數 f(x) 的最小值;
          (Ⅱ)當 a≤0 時,討論函數 f(x) 的單調性;
          (Ⅲ)是否存在實數a,對任意的 x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,有
          f(x2)-f(x1)
          x2-x1
          >a
          ,恒成立,若存在求出a的取值范圍,若不存在,說明理由.
          分析:(Ⅰ)顯然函數f(x)的定義域為(0,+∞),當 a=1 時,求導函數f′(x)=
          x2-x-2
          x
          =
          (x-2)(x+1)
          x
          ,確定函數的單調性,從而可得f(x)的最小值;
          (Ⅱ)∵f′(x)=x-
          2a
          x
          +(a-2)=
          x2+(a-2)x-2a
          x
          =
          (x-2)(x+a)
          x
          ,根據 a≤0,將-a與2進行比較,分類討論,從而可確定函數 f(x) 的單調性;
          (Ⅲ)假設存在實數a使得對任意的 x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,有
          f(x2)-f(x1)
          x2-x1
          >a
          恒成立,不妨設0<x1<x2,只要
          f(x2)-f(x1)
          x2-x1
          >a
          ,即:f(x2)-ax2>f(x1)-ax1,構建函數(x)=f(x)-ax,只要 g(x)在(0,+∞)為增函數,即使g'(x)≥0在(0,+∞)恒成立,從而可確定是否存在實數a
          解答:解:(Ⅰ)由題意,函數f(x)的定義域為(0,+∞),…(1分)
          當a=1 時,f′(x)=
          x2-x-2
          x
          =
          (x-2)(x+1)
          x
          …(2分)
          ∴當x∈(0,2)時,f′(x)<0,x∈(2,+∞),f'(x)>0.
          ∴f(x)在x=2時取得極小值且為最小值,其最小值為 f(2)=-2ln2…(4分)
          (Ⅱ)∵f′(x)=x-
          2a
          x
          +(a-2)=
          x2+(a-2)x-2a
          x
          =
          (x-2)(x+a)
          x
          ,…(5分)
          ∴(1)當-2<a≤0時,若x∈(0,-a)時,f′(x)>0,f(x)為增函數;
          x∈(-a,2)時,f′(x)<0,f(x)為減函數;
          x∈(2,+∞)時,f′(x)>0,f(x)為增函數.
          (2)當a=-2時,x∈(0,+∞)時,f(x)為增函數;
          (3)當a<-2時,x∈(0,2)時,f′(x)>0,f(x)為增函數;
          x∈(2,-a)時,f′(x)<0,f(x)為減函數;
          x∈(-a,+∞)時,f′(x)>0,f(x)為增函數…(9分)
          (Ⅲ)假設存在實數a使得對任意的 x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,有
          f(x2)-f(x1)
          x2-x1
          >a
          恒成立,
          不妨設0<x1<x2,只要
          f(x2)-f(x1)
          x2-x1
          >a
          ,即:f(x2)-ax2>f(x1)-ax1
          令g(x)=f(x)-ax,只要 g(x)在(0,+∞)為增函數
          又函數g(x)=
          1
          2
          x2-2alnx-2x

          考查函數g′(x)=x-
          2a
          x
          -2=
          x2-2x-2a
          x
          =
          (x-1)2-1-2a
          x
          …(10分)
          要使g'(x)≥0在(0,+∞)恒成立,只要-1-2a≥0,即a≤-
          1
          2
          ,…(12分)
          故存在實數a∈(-∞,-
          1
          2
          ]
          時,對任意的 x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,有
          f(x2)-f(x1)
          x2-x1
          >a
          恒成立,…(14分)
          點評:本題考查導數知識的運用,考查利用導數確定函數的單調區(qū)間,考查是否存在問題,考查分類討論的數學思想,正確運用好導數工具是關鍵.
          練習冊系列答案
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          π
          6
          )-sinα=
          2
          3
          3
          ,則sin(α-
          6
          )的值是
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          2
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          12
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          AB
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          1

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