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        1. (2012•孝感模擬)已知函數(shù) f(x)=
          1
          2
          x2-2alnx+(a-2)x
          ,a∈R.
          (Ⅰ)當(dāng) a=1 時,求函數(shù) f(x) 的最小值;
          (Ⅱ)當(dāng) a≤0 時,討論函數(shù) f(x) 的單調(diào)性;
          (Ⅲ)是否存在實數(shù)a,對任意的 x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,有
          f(x2)-f(x1)
          x2-x1
          >a
          ,恒成立,若存在求出a的取值范圍,若不存在,說明理由.
          分析:(Ⅰ)顯然函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),當(dāng) a=1 時,求導(dǎo)函數(shù)f′(x)=
          x2-x-2
          x
          =
          (x-2)(x+1)
          x
          ,確定函數(shù)的單調(diào)性,從而可得f(x)的最小值;
          (Ⅱ)∵f′(x)=x-
          2a
          x
          +(a-2)=
          x2+(a-2)x-2a
          x
          =
          (x-2)(x+a)
          x
          ,根據(jù) a≤0,將-a與2進行比較,分類討論,從而可確定函數(shù) f(x) 的單調(diào)性;
          (Ⅲ)假設(shè)存在實數(shù)a使得對任意的 x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,有
          f(x2)-f(x1)
          x2-x1
          >a
          恒成立,不妨設(shè)0<x1<x2,只要
          f(x2)-f(x1)
          x2-x1
          >a
          ,即:f(x2)-ax2>f(x1)-ax1,構(gòu)建函數(shù)(x)=f(x)-ax,只要 g(x)在(0,+∞)為增函數(shù),即使g'(x)≥0在(0,+∞)恒成立,從而可確定是否存在實數(shù)a
          解答:解:(Ⅰ)由題意,函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),…(1分)
          當(dāng)a=1 時,f′(x)=
          x2-x-2
          x
          =
          (x-2)(x+1)
          x
          …(2分)
          ∴當(dāng)x∈(0,2)時,f′(x)<0,x∈(2,+∞),f'(x)>0.
          ∴f(x)在x=2時取得極小值且為最小值,其最小值為 f(2)=-2ln2…(4分)
          (Ⅱ)∵f′(x)=x-
          2a
          x
          +(a-2)=
          x2+(a-2)x-2a
          x
          =
          (x-2)(x+a)
          x
          ,…(5分)
          ∴(1)當(dāng)-2<a≤0時,若x∈(0,-a)時,f′(x)>0,f(x)為增函數(shù);
          x∈(-a,2)時,f′(x)<0,f(x)為減函數(shù);
          x∈(2,+∞)時,f′(x)>0,f(x)為增函數(shù).
          (2)當(dāng)a=-2時,x∈(0,+∞)時,f(x)為增函數(shù);
          (3)當(dāng)a<-2時,x∈(0,2)時,f′(x)>0,f(x)為增函數(shù);
          x∈(2,-a)時,f′(x)<0,f(x)為減函數(shù);
          x∈(-a,+∞)時,f′(x)>0,f(x)為增函數(shù)…(9分)
          (Ⅲ)假設(shè)存在實數(shù)a使得對任意的 x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,有
          f(x2)-f(x1)
          x2-x1
          >a
          恒成立,
          不妨設(shè)0<x1<x2,只要
          f(x2)-f(x1)
          x2-x1
          >a
          ,即:f(x2)-ax2>f(x1)-ax1
          令g(x)=f(x)-ax,只要 g(x)在(0,+∞)為增函數(shù)
          又函數(shù)g(x)=
          1
          2
          x2-2alnx-2x

          考查函數(shù)g′(x)=x-
          2a
          x
          -2=
          x2-2x-2a
          x
          =
          (x-1)2-1-2a
          x
          …(10分)
          要使g'(x)≥0在(0,+∞)恒成立,只要-1-2a≥0,即a≤-
          1
          2
          ,…(12分)
          故存在實數(shù)a∈(-∞,-
          1
          2
          ]
          時,對任意的 x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,有
          f(x2)-f(x1)
          x2-x1
          >a
          恒成立,…(14分)
          點評:本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用,考查利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,考查是否存在問題,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想,正確運用好導(dǎo)數(shù)工具是關(guān)鍵.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•孝感模擬)已知cos(α+
          π
          6
          )-sinα=
          2
          3
          3
          ,則sin(α-
          6
          )的值是
          2
          3
          2
          3

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•孝感模擬)某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品,每年需投入固定成本0.5萬元,此外每生產(chǎn)1百件這樣的產(chǎn)品,還需增加投入0.25萬元,經(jīng)市場調(diào)查知這種產(chǎn)品年需求量為5百件,產(chǎn)品銷售數(shù)量為t(百件)時,銷售所得的收入為(5t-
          12
          t2)
          萬元.
          (1)該公司這種產(chǎn)品的年生產(chǎn)量為x百件,生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得到的利潤關(guān)于當(dāng)年產(chǎn)量x的函數(shù)為f(x),求f(x).
          (2)當(dāng)該公司的年產(chǎn)量為多少件時,當(dāng)年所獲得的利潤最大.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•孝感模擬)在△ABC中,∠A=90°,且
          AB
          BC
          =-1,則邊AB的長為
          1
          1

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•孝感模擬)如圖,在A、B間有四個焊接點,若焊接點脫落,而可能導(dǎo)致電路不通,如今發(fā)現(xiàn)A、B之間線路不通,則焊接點脫落的不同情況有( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•孝感模擬)某校高一(2)班共有60名同學(xué)參加期末考試,現(xiàn)將其數(shù)學(xué)學(xué)科成績(均為整數(shù))分成六個分?jǐn)?shù)段[40,50),[50,60),…,[90,100],畫出如右圖所示的部分頻率分布直方圖,請觀察圖形信息,回答下列問題:
          (I )求7O~80分?jǐn)?shù)段的學(xué)生人數(shù);
          (II)估計這次考試中該學(xué)科的優(yōu)分率(80分及以上為優(yōu)分);
          (III)現(xiàn)根據(jù)本次考試分?jǐn)?shù)分成的六段(從低分段到高分段依次為第一組、第二組、…、第六組),為提高本班數(shù)學(xué)整體成績,決定組與組之間進行幫扶學(xué)習(xí).若選出的兩組分?jǐn)?shù)之差大于30分(以分?jǐn)?shù)段為依據(jù),不以具體學(xué)生分?jǐn)?shù)為依據(jù)),則稱這兩組為“最佳組合”,試求選出的兩組為“最佳組合”的概率.

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          同步練習(xí)冊答案