Question

（2012•孝感模擬）已知函數 f(x)=

1

2

x2-2alnx+(a-2)x，a∈R．
（Ⅰ）當 a=1 時，求函數 f（x） 的最小值；
（Ⅱ）當 a≤0 時，討論函數 f（x） 的單調性；
（Ⅲ）是否存在實數a，對任意的 x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞a，恒成立，若存在求出a的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）顯然函數f（x）的定義域為（0，+∞），當 a=1 時，求導函數f′(x)=

x2-x-2

x

=

(x-2)(x+1)

x

，確定函數的單調性，從而可得f（x）的最小值；
（Ⅱ）∵f′(x)=x-

2a

x

+(a-2)=

x2+(a-2)x-2a

x

=

(x-2)(x+a)

x

，根據 a≤0，將-a與2進行比較，分類討論，從而可確定函數 f（x） 的單調性；
（Ⅲ）假設存在實數a使得對任意的 x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞a恒成立，不妨設0＜x₁＜x₂，只要

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞a，即：f（x₂）-ax₂＞f（x₁）-ax₁，構建函數（x）=f（x）-ax，只要 g（x）在（0，+∞）為增函數，即使g'（x）≥0在（0，+∞）恒成立，從而可確定是否存在實數a

解答：解：（Ⅰ）由題意，函數f（x）的定義域為（0，+∞），…（1分）
當a=1 時，f′(x)=

x2-x-2

x

=

(x-2)(x+1)

x

…（2分）
∴當x∈（0，2）時，f′（x）＜0，x∈（2，+∞），f'（x）＞0．
∴f（x）在x=2時取得極小值且為最小值，其最小值為 f（2）=-2ln2…（4分）
（Ⅱ）∵f′(x)=x-

2a

x

+(a-2)=

x2+(a-2)x-2a

x

=

(x-2)(x+a)

x

，…（5分）
∴（1）當-2＜a≤0時，若x∈（0，-a）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數；
x∈（-a，2）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數；
x∈（2，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數．
（2）當a=-2時，x∈（0，+∞）時，f（x）為增函數；
（3）當a＜-2時，x∈（0，2）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數；
x∈（2，-a）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數；
x∈（-a，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數…（9分）
（Ⅲ）假設存在實數a使得對任意的 x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞a恒成立，
不妨設0＜x₁＜x₂，只要

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞a，即：f（x₂）-ax₂＞f（x₁）-ax₁
令g（x）=f（x）-ax，只要 g（x）在（0，+∞）為增函數
又函數g(x)=

1

2

x2-2alnx-2x．
考查函數g′(x)=x-

2a

x

-2=

x2-2x-2a

x

=

(x-1)2-1-2a

x

…（10分）
要使g'（x）≥0在（0，+∞）恒成立，只要-1-2a≥0，即a≤-

1

2

，…（12分）
故存在實數a∈(-∞，-

1

2

]時，對任意的 x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞a恒成立，…（14分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查利用導數確定函數的單調區(qū)間，考查是否存在問題，考查分類討論的數學思想，正確運用好導數工具是關鍵．