Question

已知函數(shù)f（x）=

ax

x2+b

，在x=1處取得極值2．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式
（2）m滿足什么條件時，區(qū)間（m，2m+1）為函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）若P（x₀，y₀）為f（x）=

ax

x2+b

圖象上任意一點，直線/與．f（x）的圖象切于P點，不妨設(shè)直線l的斜率為對于任意的x₀∈R和對于任意的t∈[4，5]，均有k≥c（t²-2t-3）恒成立，求實數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù) f(x)=

ax

x2+b

在x=1處取得極值2可得f（x）=2，f′（1）=0求出a和b確定出f（x）即可；
（2）令f′（x）＞0求出增區(qū)間得到m的不等式組求出解集即可；
（3）找出直線l的斜率k=f′（x₀），利用換元法求出k的最小值和最大值即可得到c的范圍．

解答：解：（1）因 f/(x)=

a(x2+b)-ax(2x)

(x2+b)2

，
而函數(shù) f(x)=

ax

x2+b

在x=1處取得極值2，
所以

f/(1)=0 f(1)=2

?

a(1+b)-2a=0 a 1+b =2

?

a=4 b=1

所以 f(x)=

4x

1+x2

；
（2）由（1）知 f/(x)=

4(x2+1)-8x2

(x2+1)2

=

-4(x-1)(x+1)

(1+x2)2

，如圖，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是[-1，1]
所以，

m≥-1 2m+1≤1 m＜2m+1

?-1＜m≤0
所以當(dāng)m∈（-1，0]時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，2m+1）上單調(diào)遞增．

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	o	+	0	-
f（x）	↓	極小值 -2	↑	極大值2	↓

（3）由條件知，過f（x）的圖形上一點P的切線l的斜率k為：k=f/(x0)=

4(1-x02)

(1+x02)2

=4×

-1-x02+2

(1+x02)2

=4[

2

(1+x02)2

-

1

1+x02

]
令 t=

1

1+x02

，則t∈（0，1]，此時，k=8(t2-

1

2

t)=8(t-

1

4

)2-

1

2

根據(jù)二次函數(shù) k=8(t-

1

4

)2-

1

2

的圖象性質(zhì)知：
當(dāng) t=

1

4

時，k_min=-

1

2

，當(dāng)t=1時，k_max=4
所以，直線l的斜率k的取值范圍是 [-

1

2

 ， 4 ]．
∵t∈[4，5]，均有（t²-2t-3）∈[5，12]
∴k≥-

1

2

≥（cg（t））_max，恒成立．∴c＜0，-

1

2

≥5c，
∴c≤-

1

10

．

點評：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，以及計算能力，解答的關(guān)鍵是導(dǎo)數(shù)工具的靈活運用．