Question

如圖：在四棱臺(tái)ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁垂直底面，且DD₁=2，底面四邊形ABCD與A₁B₁C₁D₁分別為邊長(zhǎng)2和1的正方形．
（1）求直線DB₁與BC₁夾角的余弦值；
（2）求二面角A-BB₁-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DB，DC為x軸y軸z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用

DB1

與

BC1

的夾角余弦值求直線DB₁與BC₁夾角的余弦值．
（2）直線DB是直線B₁B在平面ABCD上的射影則AC⊥DB，根據(jù)三垂線定理，有AC⊥B₁B．過(guò)點(diǎn)A在平面ABB₁A₁內(nèi)作AM⊥B₁B于M，連接MC，MO，由△AMB≌△CMB，得CM⊥BB₁，∠AMC是二面角A-B₁B-C的一個(gè)平面角，在三角形AMC中求出此角即可

解答：解：（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DB，DC為x軸y軸z軸建立空間直角坐標(biāo)系．如圖①

則各點(diǎn)坐標(biāo)D（0，0，0），B（2，2，0），B₁（1，1，2），C₁（0，1，2）

DB1

=（1，1，2），

BC1

=（-2．-1，2）
設(shè)

DB1

，

BC1

的夾角為θ，則cosθ=

| DB1 • BC1|

|DB1|×| BC1|

=

1

6 × 9

=

54

54

直線DB₁與BC₁夾角的余弦值為

54

54

．
（2）如圖②

∵直線DB是直線B₁B在平面ABCD上的射影，AC⊥DB，
根據(jù)三垂線定理，有AC⊥B₁B．
過(guò)點(diǎn)A在平面ABB₁A₁內(nèi)作AM⊥B₁B于M，連接MC，MO，
由△AMB≌△CMB，得CM⊥BB₁
所以，∠AMC是二面角A-B₁B-C的一個(gè)平面角．
根據(jù)勾股定理，有 A1A=

5

，C1C=

5

，B1B=

6

．
∵OM⊥B₁B，有 OM=

B1O?OB

B1B

=

2

3

，
BM=

2 3

，AM=

10 3

，CM=

10 3

．
cos∠AMC=

AM2+CM2-AC2

2AM?CM

=-

1

5

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線與直線的夾角、二面角及其平面角等有關(guān)知識(shí)，考查空間想象能力和思維能力，屬于中檔題