Question

如圖，在四棱錐中，PA⊥底面ABCD，∥，∠=90°，，是的中點.

（1）求證：⊥；

（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值；

（3）試探究線段上是否存在一點，使得∥面?若存在，確定點的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）不妨令BC＝1，以A為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）

所以M（1，，1），，.

因為,  所以. 

（2）設(shè)平面PCD的法向量為＝(x，y，z),

由    .           

而平面PAB的法向量為,

∴cos＜,＞=.

∴所求二面角的余弦值為.

（3）假設(shè)線段PB上存在一點Q，有,

. 

若AQ平行平面PCD，則,

即.

所以，這與矛盾.

故不存在這樣的點Q，使得AQ∥平面PCD.