Question

（04全國(guó)卷I）（12分）

如圖，已知四棱錐 P―ABCD，PB⊥AD側(cè)面PAD為邊長(zhǎng)等于2的正三角形，底面ABCD為菱形，側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角為120°.

（I）求點(diǎn)P到平面ABCD的距離，

（II）求面APB與面CPB所成二面角的大小.

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

解析：（I）如圖，作PO⊥平面ABCD，垂足為點(diǎn)O.連結(jié)OB、OA、OD、OB與AD交于點(diǎn)E，連結(jié)PE.

∵AD⊥PB，∴AD⊥OB，

∵PA=PD，∴OA=OD，

于是OB平分AD，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，所以PE⊥AD.

由此知∠PEB為面PAD與面ABCD所成二面角的平面角，

∴∠PEB=120°，∠PEO=60°

由已知可求得PE=

∴PO=PE?sin60°=，

即點(diǎn)P到平面ABCD的距離為.

（II）解法一：如圖建立直角坐標(biāo)系，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸平行于DA.

.連結(jié)AG.

又知由此得到：

所以

等于所求二面角的平面角，

于是

所以所求二面角的大小為  .

解法二：如圖，取PB的中點(diǎn)G，PC的中點(diǎn)F，連結(jié)EG、AG、GF，則AG⊥PB，F(xiàn)G//BC，F(xiàn)G=BC.

∵AD⊥PB，∴BC⊥PB，F(xiàn)G⊥PB，

∴∠AGF是所求二面角的平面角.

∵AD⊥面POB，∴AD⊥EG.

又∵PE=BE，∴EG⊥PB，且∠PEG=60°.

在Rt△PEG中，EG=PE?cos60°=.

在Rt△PEG中，EG=AD=1.

于是tan∠GAE==,

又∠AGF=π－∠GAE.

所以所求二面角的大小為π－arctan.