Question

【題目】已知二次函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）設(shè)函數(shù)，記為函數(shù)極大值點(diǎn)，求證： .

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論 的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

（2）由題

則，此時(shí)，討論的單調(diào)性可得， 在處取得極大值，則一定有個(gè)零點(diǎn)，分別是的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn).

設(shè)是函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)，則

所以， ，由所以，

此時(shí)可證明.

試題解析：（1）

當(dāng)時(shí)， 在上恒正；

所以， 在上單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)，由得，

所以當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞減

當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增.

綜上所述，

當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增.

（2）

則

令的

當(dāng)時(shí)， 為增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)， 為減函數(shù)；

所以， 在處取得極大值，

一定有個(gè)零點(diǎn)，分別是的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn).

設(shè)是函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)，則

所以，

又

所以，

此時(shí)

所以.