Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)

（1）若在的圖象上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)處存在垂直于y 軸的切線，求a 的值；

 （2）若在區(qū)間（-2，3）內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，求a 取值范圍；

 （3）在（1）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)，若存在，試出實(shí)數(shù)m 的值；若不存在，說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）a=1；（2）a的取值范圍為

   （3）存在的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)

【解析】本題主要考查函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，主要涉及了方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)間的轉(zhuǎn)化．還考查了計(jì)算能力和綜合運(yùn)用知識(shí)的能力．

（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再由f′（ ）=0求解a．

（2）將“f（x）在區(qū)間（-2，3）內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)”轉(zhuǎn)化為“方程f′（x）=0在區(qū)間（-2，3）內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)根”，用△＞0求解．

（3）在（1）的條件下，a=1，“要使函數(shù)f（x）與g（x）=x⁴-5x³+（2-m）x²+1的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)”即為“方程x²（x²-4x+1m）=0恰有三個(gè)不同的實(shí)根”．因?yàn)閤=0是一個(gè)根，所以方程x²-4x+1-m=0應(yīng)有兩個(gè)非零的不等實(shí)根，再用判別式求解．

解：（1）依題意，

                  

    …………………………3分

   （2）若在區(qū)間（—2，3）內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，

    則方程在區(qū)間（—2，3）內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)根，

   

    但a=0時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)，

    ∴a的取值范圍為

   （3）在（1）的條件下，a=1，要使函數(shù)的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)，等價(jià)于方程，

    即方程恰有三個(gè)不同的實(shí)根。

    =0是一個(gè)根，

    應(yīng)使方程有兩個(gè)非零的不等實(shí)根，

    由      存在的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)。