Question

已知a＞0，函數(shù)f（x）=x³-3a²x-2a，x∈[0，1]．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=

4x2-7

2-x

，是否存在實(shí)數(shù)a≥1，使得對(duì)于任意x₁∈[0，1]，總存在x₀∈[0，1]，滿足f（x₁）=g（x₀）？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法步驟求解f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）設(shè)當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）的值域?yàn)锳，g（x）的值域?yàn)锽，若存在實(shí)數(shù)a≥1，則必有A⊆B，分別求出A，B，列出關(guān)于a的不等式組求解．

解答：解：（1）f′（x）=3（x²-a²）=3（x-a）（x+a），
由f′（x）=0，得x₁=a，x₂=-a，
∴a＞0，∴x₁＞x₂，
當(dāng)0＜a＜1，x∈[0，1]時(shí)，由f′（x）≥0，得a≤x≤1，所以f（x）在[a，1]上為增函數(shù)，
由f′（x）≤0，得0≤x≤a，所以f（x）在[0，a]上為減函數(shù)．
當(dāng)a≥1，x∈[0，1]時(shí)，由f′（x）≤0恒成立，所以f（x）在[0，1]上為減函數(shù)．
綜上所述，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在[a，1]上為增函數(shù)，在[0，a]上為減函數(shù)．當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）在[0，1]上為減函數(shù)．
（2）設(shè)當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）的值域?yàn)锳，g（x）的值域?yàn)锽，若存在實(shí)數(shù)a≥1，則必有A⊆B，
當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）在[0，1]上為減函數(shù)，所以f（x）max=f（0）=-2a，f（x）min=f（1）=1-3a²-2a，即A=[1-3a²-2a，-2a]，
又g′（x）=

-4x2+16x-7

(2-x)2

，令g′（x）＞0得

1

2

＜x＜

7

2

，令g′（x）＜0得x＜

1

2

，或x＞

7

2

，
所以g（x）min=f（

1

2

）=-4，又g（0）=-

7

2

，g（1）=-3，所以g（x）max=-3，從而B(niǎo)=[-4，-3]，
由A⊆B得，

1-3a2-2a≥-4 -2a≤-3

，即

- 5 3 ≤a≤1 a≥ 3 2

，不等式無(wú)解，
所以不存在實(shí)數(shù)a≥1滿足題意．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)最值、極值在問(wèn)題中的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化、計(jì)算、邏輯思維能力．本題（2）的關(guān)鍵是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為A⊆B．