Question

(本題滿分15分)已知函數(shù)．

(Ⅰ)若無(wú)極值點(diǎn)，但其導(dǎo)函數(shù)有零點(diǎn)，求的值；

(Ⅱ)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍，并證明的極小值小于．

Answer 1

解 (Ⅰ)首先，                                        ---------------1分

                              ---------------3分

有零點(diǎn)而無(wú)極值點(diǎn)，表明該零點(diǎn)左右同號(hào)，故，且的由此可得                               ----------------6分

（Ⅱ）由題意，有兩不同的正根，故.

解得：                                                ----------------8分

設(shè)的兩根為，不妨設(shè)，因?yàn)樵趨^(qū)間上， ，而在區(qū)間上，，故是的極小值點(diǎn).-------10分

因在區(qū)間上是減函數(shù)，如能證明則更有                                                                                           ---------------13分

由韋達(dá)定理，，

令其中設(shè) ，利用導(dǎo)數(shù)容易證明當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，而，因此，即的極小值                       -------15分

（Ⅱ）另證：實(shí)際上，我們可以用反代的方式證明的極值均小于.

由于兩個(gè)極值點(diǎn)是方程的兩個(gè)正根，所以反過(guò)來(lái)，

（用表示的關(guān)系式與此相同），這樣

即，再證明該式小于是容易的（注意，下略）.