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        1. 設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-
          12
          ax2-bx

          (1)已知f(x)在點(diǎn)P(1,f(1))處的切線方程是y=2x-1,求實(shí)數(shù)a,b的值.
          (2)若方程f(x)=λx2(λ>0)有唯一實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)λ的值.
          分析:(1)求導(dǎo)函數(shù),利用(x)在點(diǎn)P(1,f(1))處的切線方程是y=2x-1,建立方程組,從而可求實(shí)數(shù)a,b的值;
          (2)因?yàn)榉匠蘤(x)=λx2有唯一實(shí)數(shù)解,所以λx2-lnx-x=0有唯一實(shí)數(shù)解,構(gòu)造函數(shù)g(x)=λx2-lnx-x,利用g(x)=0有唯一解,再構(gòu)造函數(shù)h(x)=2lnx+x-1,利用h(1)=0,可得方程的解,從而可求實(shí)數(shù)λ的值.
          解答:解:(1)當(dāng)x=1時(shí),y=1,∴f(1)=-
          1
          2
          a-b=1

          f′(x)=
          1
          x
          -ax-b
          ,即f′(1)=1-a-b=2,
          ∴a=0,b=-1.…(4分)
          (2)因?yàn)榉匠蘤(x)=λx2有唯一實(shí)數(shù)解,所以λx2-lnx-x=0有唯一實(shí)數(shù)解.…(6分)
          設(shè)g(x)=λx2-lnx-x,則g′(x)=
          x2-x-1
          x

          令g'(x)=0,則2λx2-x-1=0.
          因?yàn)棣耍?,所以△=1+8λ>0,方程有兩異號(hào)根,設(shè)為x1<0,x2>0,因?yàn)閤>0,所以x1應(yīng)舍去.
          當(dāng)x∈(0,x2)時(shí),g'(x)<0,g(x)在(0,x2)上單調(diào)遞減;
          當(dāng)x∈(x2,+∞)時(shí),g'(x)>0,g(x)在(x2,+∞)單調(diào)遞增.
          當(dāng)x=x2時(shí),g'(x2)=0,g(x)取最小值g(x2).…(8分)
          因?yàn)間(x)=0有唯一解,所以g(x2)=0.
          g(x2)=0
          g′(x2)=0
          λ
          x
          2
          2
          -lnx2-x2=0
          x
          2
          2
          -x2-1=0.
          …(10分)
          因?yàn)棣耍?,所以2lnx2+x2-1=0.(*)
          設(shè)函數(shù)h(x)=2lnx+x-1.因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí),h(x)是增函數(shù),所以h(x)=0至多有一解.
          因?yàn)閔(1)=0,所以方程(*)的解為x2=1.
          代入方程組解得λ=1.…(12分)
          點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查方程解的求解,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+x)-
          2x
          x+2
          ,證明:當(dāng)x>0時(shí),f(x)>0.
          (Ⅱ)從編號(hào)1到100的100張卡片中每次隨機(jī)抽取一張,然后放回,用這種方式連續(xù)抽取20次,設(shè)抽到的20個(gè)號(hào)碼互不相同的概率為p,證明:p<(
          9
          10
          )19
          1
          e2

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x-1)+
          2a
          x
          (a∈R)

          (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
          (2)如果當(dāng)x>1,且x≠2時(shí),
          ln(x-1)
          x-2
          a
          x
          恒成立,則求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x+1)-
          2x
          的零點(diǎn)為x0,若x0∈(k,k+1),k為整數(shù),則k的值等于
          -1或1
          -1或1

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2012•湖北模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x+a)-x2
          (1)若a=0,求f(x)在(0,m](m>0)上的最大值g(m).
          (2)若f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù),求a的取值范圍.
          (3)若直線y=x為函數(shù)f(x)的圖象的一條切線,求a的值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)=ln,則函數(shù)f()+f()的定義域?yàn)開(kāi)______.

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          同步練習(xí)冊(cè)答案