Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

6

3

，橢圓短軸長(zhǎng)為

2 15

3

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知?jiǎng)又本�y=k（x+1）與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)．
①若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-

1

2

，求斜率k的值；
②若點(diǎn)M（-

7

3

，0），求證：

MA

•

MB

為定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

c

a

=

6

3

，2b=

2 15

3

及a²=b²+c²聯(lián)立即可解得a²，b²值；
（Ⅱ）（1）將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消掉y得x的一元二次方程，由韋達(dá)定理得x1+x2=-

6k2

3k2+1

，再由AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-

1

2

，可得關(guān)于k的方程，解出即可；
（2）利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及韋達(dá)定理即可求得

MA

•

MB

為定值．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)?span id="4pxxrne" class="MathJye">

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）滿足a²=b²+c²①，
由

c

a

=

6

3

②，2b=

2 15

3

③．聯(lián)立①②③，
解得a²=5，b2=

5

3

，
所以橢圓方程為

x2

5

+

y2

5 3

=1．
（Ⅱ）（1）將y=k（x+1）代入

x2

5

+

y2

5 3

=1中，得（1+3k²）x²+6k²x+3k²-5=0，
△=36k⁴-4（3k²+1）（3k²-5）=48k²+20＞0，x1+x2=-

6k2

3k2+1

，
因?yàn)锳B中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-

1

2

，所以-

6k2

3k2+1

=-

1

2

，解得k=±

3

3

，
（2）由（1）知x1+x2=-

6k2

3k2+1

，x1x2=

3k2-5

3k2+1

，
所以

MA

•

MB

=（x₁+

7

3

，y₁）（x2+

7

3

，y₂）=（x1+

7

3

）（x2+

7

3

）+y₁y₂
=（x1+

7

3

）（x2+

7

3

）+k²（x₁+1）（x₂+1）
=（1+k²）x₁x₂+（

7

3

+k²）（x₁+x₂）+

49

9

+k²
=（1+k²）

3k2-5

3k2+1

+（

7

3

+k2）（-

6k2

3k2+1

）+

49

9

+k²=

4

9

；

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系及向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算變形能力，考查學(xué)生分析解決問題的能力．