Question

今有一長2米寬1米的矩形鐵皮，如圖，在四個角上分別截去一個邊長為x米的正方形后，沿虛線折起可做成一個無蓋的長方體形水箱（接口連接問題不考慮）．
（Ⅰ）求水箱容積的表達式f（x），并指出函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）若要使水箱容積不大于4x³立方米的同時，又使得底面積最大，求x的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）確定長方體形水箱高為x米，底面矩形長為（2-2x）米，寬（1-2x）米，即可得到該水箱容積為f（x）=（2-2x）（1-2x）x=4x³-6x²+2x，根據(jù)長、寬、高為正數(shù)，可確定所求函數(shù)f（x）定義域；
（Ⅱ）根據(jù)水箱容積不大于4x³立方米，構建不等式，確定函數(shù)的定義域，再利用底面積為S（x）=（2-2x）（1-2x）=4x²-6x+2，結合定義域，可得結論．

解答：解：（Ⅰ）由已知該長方體形水箱高為x米，底面矩形長為（2-2x）米，寬（1-2x）米．
∴該水箱容積為f（x）=（2-2x）（1-2x）x=4x³-6x²+2x．…（4分）
其中正數(shù)x滿足

2-2x＞0 1-2x＞0

∴0＜x＜

1

2

．
∴所求函數(shù)f（x）定義域為{x|0＜x＜

1

2

}．…（6分）
（Ⅱ）由f（x）≤4x³，得x≤0或x≥

1

3

，
∵定義域為{x|0＜x＜

1

2

}，∴

1

3

≤x＜

1

2

．…（8分）
此時的底面積為S（x）=（2-2x）（1-2x）=4x²-6x+2（x∈[

1

3

，

1

2

））．
由S（x）=4（x-

3

4

）²-

1

4

，…（10分）
可知S（x）在[

1

3

，

1

2

）上是單調(diào)減函數(shù)，
∴x=

1

3

．
即要使水箱容積不大于4x³立方米的同時，又使得底面積最大的x是

1

3

．…（12分）

點評：本題考查函數(shù)模型的構建，考查函數(shù)的最值，利用長方體的體積公式，確定函數(shù)是關鍵．