Question

已知函數(shù)f(x)＝(b＜0)的值域?yàn)椋?，3］ (1) 求實(shí)b、c的值 (2) 判斷函數(shù)f(x)在［－1，1］上的單調(diào)性，并給出證明

Answer 1

答案：
解析：

(1)

解析：由y＝，得(2－y)x2＋bx＋c－y＝0．　　① 　　當(dāng)y－2≠0時(shí)，由x∈R，有△＝b2－4(2－y)(c－y)≥0， 　　即4y2－4(2＋c)y＋8c－b2≤0． 　　由已知得2＋c＝1＋3且＝1×3， 　　∴b＝±2，c＝2． 　　又b＜0，∴b＝－2，c＝2． 　　而y－2＝0，b＝－2，c＝2代入①得x＝0， 　　∴b＝－2，c＝2為所求．

(2)

設(shè)－1≤x1＜x2≤1，則f(x1)－f(x2)＝． 　　∵≤1，≤1，x1＜x2 　　∴＜1，1－x1x2＞0． 　　而x2－x1＞0，＋1＞0，＋1＞0 　　∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2) 　　∴f(x)＝在［－1，1］上是減函數(shù)． 　　點(diǎn)評(píng)：本例是在已知函數(shù)的定義域和值域的前提下，確定函數(shù)解析式中的系數(shù)．因此，在解題過程中利用“待定系數(shù)法”并結(jié)合求形如y＝分式形式的函數(shù)的值域，其過程是去分母，變形為整式．運(yùn)用“判別式”法求函數(shù)的值域，在解題過程中必須注意：(1)二次項(xiàng)系數(shù)不為零且方程有實(shí)數(shù)解時(shí)，△≥0；(2)二次項(xiàng)系數(shù)為零時(shí)，代入檢驗(yàn)變量是否滿足已知條件