Question

已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）增區(qū)間，減區(qū)間；（2）；（3）.

解析試題分析：（1）將代入函數(shù)解析式，直接利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（2）將條件“在區(qū)間上為減函數(shù)”等價(jià)轉(zhuǎn)化為“不等式在區(qū)間上恒成立”，結(jié)合參數(shù)分離法進(jìn)行求解；（3）構(gòu)造新函數(shù)，將“不等式在區(qū)間上恒成立”等價(jià)轉(zhuǎn)化為“”，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合函數(shù)單調(diào)性圍繞進(jìn)行求解，從而求出實(shí)數(shù)的取值范圍.
試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，
，
解得；解得，
故的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；
（2）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，
所以對(duì)恒成立，
即對(duì)恒成立，；
（3）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，不等式恒成立，
即恒成立，設(shè)，
只需即可
由，
①當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故成立；
②當(dāng)時(shí)，令，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/93/8/1m12j3.png" style="vertical-align:middle;" />，所以解得，
（i）當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，故在上無最大值，不合題設(shè)；
（ii）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在區(qū)間上；在區(qū)間上．
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，同樣在無最大值，不滿足條件；
③當(dāng)時(shí)，由，故，，
故函數(shù)在上單調(diào)遞減，故成立
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是