Question

在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M為AB中點．
（1）求直線B₁C與DM所成角的余弦；　
（2）（文）求點M到平面DB₁C的距離；
（3）（理）求二面角M-B₁C-D的大�。�

Answer 1

分析：（1）連接A₁D，由幾何體的結(jié)構(gòu)特征可得：A₁D∥B₁，可得B₁C與DM所成角與A₁D與DM所成角相等，再利用解三角形的有關(guān)知識求出異面直線所成的角．
（2）設(shè)點M到平面DB₁C的距離為h，再根據(jù)等體積法即利用VB1-MCD=  VM-B1CD，求出點M到平面DB₁C的距離．
（3）取B₁C的中點F，B₁D的中點G，連接MF，MG，由幾何體的結(jié)構(gòu)特征可得：MF⊥B₁C，GF⊥B₁C，進而得到∠MFG是二面角M-B₁C-D的平面角，再利用解三角形的有關(guān)知識求出二面角的平面角．

解答：解：（1）連接A₁D，由幾何體的結(jié)構(gòu)特征可得：A₁D∥B₁，

所以B₁C與DM所成角與A₁D與DM所成角相等．
連接A₁M，
因為正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為a，
所以A1D=2

2

，A1M=DM=

5

，
∴在△A₁MD中由余弦定理可得：cos∠A1DM=

A1D2+A1M2 -DM2

2•A1D•DM

=

10

5

∴直線B₁C與DE所成角的余弦值是

10

5

．
（2）設(shè)點M到平面DB₁C的距離為h，
因為正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，
所以CB₁=2

2

，
所以S△B1CD=

1

2

×CD×B1C=2

2

，S△CDM=

1

2

×CD×2=2，B₁到平面ABCD的距離為2，
又因為VB1-MCD=  VM-B1CD，即

1

3

×S△CDM×2 =

1

3

×S△B1CD×d，
所以h=

2

，
所以點M到平面DB₁C的距離為

2

．
（3）取B₁C的中點F，B₁D的中點G，連接MF，MG，
因為M為AB中點，
所以MC=MB₁，
所以MF⊥B₁C；
因為CD⊥B₁C，GF∥CD，
所以GF⊥B₁C，
所以∠MFG是二面角M-B₁C-D的平面角．
因為正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，
所以在△MFG中，GF=1，MF=

3

，MG=

2

，
所以根據(jù)勾股定理可得△MFG是直角三角形，
所以 cos∠MFG=

FG

MF

=

3

3

，
所以二面角M-B₁C-D的大小為arccos

3

3

．

點評：本題主要考查點到平面的距離，解決此類問題一般利用等體積的方法求出答案，本題還考查的異面直線的夾角與二面角的平面角，解決空間角的關(guān)鍵是結(jié)合幾何體的結(jié)構(gòu)特征與空間角的定義正確的作出空間角，求空間角的步驟是：①作角，②證明此角即為所求角，③利用解三角形的有關(guān)知識求角，此題屬于中檔題，考查學(xué)生的空間想象能力與推理論證的能力．