Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinB=

5

13

，且a，b，c成等比數(shù)列．
（1）求

1

tanA

+

1

tanC

的值；
（2）若accosB=12，求a+c的值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)題意得到b²=ac，結(jié)合正弦定理得到sinAsinC=sin2B=

25

169

．，將

1

tanA

+

1

tanC

化為弦的形式，然后通分得到

1

tanA

+

1

tanC

=

sinB

sinAsinC

，最后sinAsinC=sin2B=

25

169

．代入即可得到答案．
（2）先根據(jù)accosB=12知cosB＞0，再由sinB的值求出cosB的值，最后根據(jù)余弦定理可確定a，c的關(guān)系，從而確定答案．

解答：解：（1）依題意，b²=ac，
由正弦定理及sinB=

5

13

，得sinAsinC=sin2B=

25

169

．

1

tanA

+

1

tanC

=

cosA

sinA

+

cosC

sinC

=

sin(A+C)

sinAsinC

=

sinB

sinAsinC

=

5

13

×

169

25

=

13

5

．
（2）由accosB=12知cosB＞0．
由sinB=

5

13

，得cosB=±

12

13

．（舍去負值）
從而，b2=ac=

12

cosB

=13．
由余弦定理，得b²=（a+c）²-2ac-2accosB．
代入數(shù)值，得13=(a+c)2-2×13×(1+

12

13

)．
解得：a+c=3

7

．

點評：本題主要考查正弦定理與余弦定理的應(yīng)用．正余弦定理是解三角形的基礎(chǔ)，對于其公式一定要熟練掌握并能夠熟練應(yīng)用．