Question

已知

（1）若時，求函數(shù)在點處的切線方程；

（2）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（3）令是否存在實數(shù)，當(dāng)是自然對數(shù)的底）時，函數(shù)的最小值是3，

若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）存在，.

【解析】

試題分析：（1）時，利用求導(dǎo)法則得到的導(dǎo)函數(shù)，計算知，即切線斜率為1，再得到，從而通過直線的點斜式方程得到所求切線方程；（2）函數(shù)在上是減函數(shù)，即導(dǎo)函數(shù)在上是恒小于或等于0. ,在上分母恒為正，所以分子，令，則為開口向上的二次函數(shù).所以本題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間的最值問題.，故兩個可能的最大值，得實數(shù)的取值范圍；（3）對求導(dǎo)，討論的范圍，研究導(dǎo)數(shù)的正負(fù)從而確定在上的單調(diào)性，得到其最小值，由條件最小值是3得到的值，注意此時還要判斷是否在所討論的范圍內(nèi)，若不在則要予以舍去.

試題解析：（1）當(dāng)時，         1分

     函數(shù)在點處的切線方程為    3分

（2）函數(shù)在上是減函數(shù)

在上恒成立                      4分

令，有得                             6分

                                                             7分

（3）假設(shè)存在實數(shù)，使在上的最小值是3

                                               8分

當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，

（舍去）                                                     10分

當(dāng)且時，即，在上恒成立，在上單調(diào)遞減

，（舍去）                        11分

當(dāng)且時，即時，令，得；，得

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

，滿足條件                      13分

綜上所述，存在實數(shù)，使在上的最小值是3      14分

考點：1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2.二次函數(shù)在閉區(qū)間的最值；3.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.