Question

（2010•臺州一模）已知向量

a

=（sin（x+

π

2

），sinx），

b

=（cosx，-sinx），函數(shù)f（x）=m（

a

•

b

+

3

sin2x），（m為正實(shí)數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的兩倍，然后再向右平移

π

6

個(gè)單位得到y(tǒng)=g（x）的圖象，試探討：當(dāng)x⊆[0，π]時(shí)，函數(shù)y=g（x）與y=1的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（1）向量

a

=（sin（x+

π

2

），sinx），

b

=（cosx，-sinx），代入f（x）=m（

a

•

b

+

3

sin2x），利用二倍角公式兩角和的正弦函數(shù)化簡為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，求出它的周期，利用正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間求出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間即可．
（2）橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的兩倍，得2sin(x+

π

6

)，向右平移

π

6

個(gè)單位，得2sin[(x-

π

6

)+

π

6

]，從而可求g（x）的解析式，利用函數(shù)g（x）的最值結(jié)合圖象即可得出答案．

解答：解：（1）f(x)=m(

a

•

b

+

3

sin2x)=m(sin(x+

π

2

)cosx-sin 2x+

3

)sin2x]
=m(cos2x-sin 2x+

3

sin2x)
=2msin(2x+

π

6

)…（2分）
由m＞0知，函數(shù)f（x）的最小正周期T=π．（4分）
又2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，（k∈Z）
解得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，（k∈Z）..（5分）
所以函數(shù)的遞減區(qū)間是：[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，（k∈Z）（6分）
（2）橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的兩倍，得2msin(x+

π

6

)，
向右平移

π

6

個(gè)單位，得2msin[(x-

π

6

)+

π

6

]，
所以：g（x）=2msinx．…（7分）
由  0≤x≤π及m＞0得0≤g（x）≤2m  …（8分）
所以當(dāng)0＜m＜

1

2

時(shí)，y=g（x）與y=1無交點(diǎn)
當(dāng)m=

1

2

時(shí)，y=g（x）與y=1有唯一公共點(diǎn)
當(dāng)m＞

1

2

時(shí)，y=g（x）與y=1有兩個(gè)公共點(diǎn)   …（12分）

點(diǎn)評：本題是基礎(chǔ)題，考查向量的數(shù)量積，三角函數(shù)的周期以及單調(diào)增區(qū)間的求法，三角函數(shù)的圖象的平移，是�？碱}型．