Question

（理）已知ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2，點(diǎn)B到平面EFG的距離為（　　）

A． 11

B． 2 11 11

C． 11 11

D．2 11

Answer 1

如圖，連接EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分別交AC于H、O．
因?yàn)锳BCD是正方形，E、F分別為AB和AD的中點(diǎn)，故EF∥BD，H為AO的中點(diǎn)．
由直線和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG，所以BD和平面EFG的距離就是點(diǎn)B到平面EFG的距離．
∵BD⊥AC，∴EF⊥HC．
∵GC⊥平面ABCD，∴EF⊥GC，
∵HC∩GC=C，∴EF⊥平面HCG．
∵EF?平面EFG，∴平面EFG⊥平面HCG，HG是這兩個(gè)垂直平面的交線．
作OK⊥HG交HG于點(diǎn)K，由兩平面垂直的性質(zhì)定理知OK⊥平面EFG，所以線段OK的長(zhǎng)就是點(diǎn)B到平面EFG的距離．
∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，GC=2，
∴AC=4

2

，HO=

2

，HC=3

2

．
∴在Rt△HCG中，HG=

18+4

=

22

．
由于Rt△HKO和Rt△HCG有一個(gè)銳角是公共的，故Rt△HKO∽△HCG．
∴OK=

HO?GC

HG

=

2 ×2

22

=

2 11

11

．
即點(diǎn)B到平面EFG的距離為

2 11

11

．
故選B．