Question

已知點A是橢圓的左頂點，直線l：x=my+1（m∈R）與橢圓C相交于E，F(xiàn)兩點，與x軸相交于點B．且當m=0時，△AEF的面積為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線AE，AF與直線x=3分別交于M，N兩點，試判斷以MN為直徑的圓是否經(jīng)過點B？并請說明理由．

Answer 1

解：（1）當m=0時，直線l的方程為x=1，設(shè)點E在x軸上方，
由解得，所以．
左頂點為（-3，0），
因為△AEF的面積為，解得t=2．
所以橢圓C的方程為．
（2）由得（2m²+9）y²+4my-16=0，顯然m∈R．
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
則，x₁=my₁+1，x₂=my₂+1．
又直線AE的方程為，
由解得，同理得．
所以，
又因為==
===0．
所以，所以以MN為直徑的圓過點B．
分析：（1）m=0時直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立解得E，F(xiàn)坐標，從而可表示出|EF|的長，根據(jù)，△AEF的面積為得到關(guān)于t的方程，解出即可．
（2）由消x得到關(guān)于y的一元二次方程，設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），由韋達定理可用m表示y₁，y₂，根據(jù)已知條件可求出M，N坐標，判斷以MN為直徑的圓是否經(jīng)過點B，只需判斷是否有，進而轉(zhuǎn)化為是否有，通過計算即可驗證．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓的標準方程，考查學生的運算能力，考查學生綜合運用知識分析問題解決問題的能力，綜合性較強，有一定難度．