Question

如圖，設P₁，P₂，P₃，…，P_n，…是曲線y=上的點列，Q₁，Q₂，Q₃，…，Q_n，…是x軸正半軸上的點列，且△OQ₁P₁，△Q₁Q₂P₂，…，△Q_n-1Q_nP_n，…都是正三角形，設它們的邊長為a₁，a₂，…，a_n，…，求證：a₁+a₂+…+a_n=n（n+1）．

Answer 1

證明：（1）當n=1時，點P₁是直線y=x與曲線y=的交點，
∴可求出P₁（，）．
∴a₁=|OP₁|=．而×1×2=，命題成立．
（2）假設n=k（k∈N*）時命題成立，即a₁+a₂++a_k=k（k+1），
則點Q_k的坐標為（k（k+1），0），
∴直線Q_kP_k+1的方程為y=[x-k（k+1）]．
代入y=，解得P_k+1點的坐標為（，（k+1））
∴a_k+1=|Q_kP_k+1|=（k+1）•=（k+1）．
∴a₁+a₂++a_k+a_k+1=k（k+1）+（k+1）=（k+1）（k+2）．
∴當n=k+1時，命題成立．
由（1）（2）可知，命題對所有正整數(shù)都成立．
分析：（1）由題意知P₁（，）．由此可知a₁=|OP₁|=．而×1×2=，命題成立．
（2）假設n=k（k∈N*）時命題成立，即a₁+a₂++a_k=k（k+1），則點Q_k的坐標為（k（k+1），0），直線Q_kP_k+1的方程為y=[x-k（k+1）]．然后用數(shù)學歸納法進行證明．
點評：本題的關鍵是求出P_k+1的縱坐標，再根據(jù)正三角形高與邊的關系求出|Q_kP_k+1|．