Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面四邊形ABCD為直角梯形，∠B=∠C=90°，AB=3CD，∠PBC=30°，點M是PB上的動點，且（λ∈[0，1]）．
（1）當時，證明CM∥平面PAD；
（2）當平面MCD⊥平面PAB時，求λ的值．

Answer 1

解：（1）過M作MN∥AB于交PA于N，連接DN
∵△PAB中，PM：PB=1：3
∴MN：AB=1：3，得MN=AB
∵MN∥AB，AB∥CD，∴MN∥CD
∵MN=AB=CD，∴四邊形CDNM是平行四邊形，可得CM∥DN
∵CM?平面PAD，DN⊆平面PAD，
∴CM∥平面PAD；
（2）∵PC⊥底面ABCD，AB⊆平面ABCD，∴AB⊥PC
又∵AB⊥BC，PC、BC是平面PBC內(nèi)的相交直線
∴AB⊥平面PBC
∵CM⊆平面PBC，∴CM⊥AB，
因此，當CM⊥PB時，可得CM⊥平面PAB，再結合CM⊆平面MCD，可得平面MCD⊥平面PAB．
∵Rt△PCB中，∠PBC=30°，∴PB=2PC
而Rt△PMC中，∠PCM=30°，所以PM=PC=PB，得=
∴當平面MCD⊥平面PAB時，λ的值為
分析：（1）利用平行線分線段成比例定理，結合平行線的傳遞性，可證出MN與CD平行且相等，從而得到四邊形CDNM是平行四邊形，可得CM∥DN，最后根據(jù)線面平行的判定定理，證出CM∥平面PAD；
（2）由線面垂直的判定與性質，可證出CM⊥平面PAB，從而得到當CM⊥PB時，有平面MCD⊥平面PAB．再在Rt△PCB和Rt△PMC中，利用含有30°角的直角三角形的性質，算出PM=PB，得到當平面MCD⊥平面PAB時，λ的值為．
點評：本題給出底面為直角梯形且一條側棱垂直于底面的四棱錐，求證線面平面并且討論了面面垂直，著重考查了空間線面平面的判定和線面垂直、面面垂直的判定與性質等知識，屬于基礎題．