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        1. 如圖,多面體ABCDEF中,平面ADEF⊥平面ABCD,正方形ADEF的邊長(zhǎng)為2,直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥DC,AB=2,CD=4.
          (Ⅰ)求證:BC⊥平面BDE;
          (Ⅱ)試在平面CDE上確定點(diǎn)P,欲使點(diǎn)P到直線DC、DE的距離相等,且AP與平面BEF所成的角等于30°.
          分析:(Ⅰ)欲證BC⊥平面BDE,根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證BC與平面BDE內(nèi)兩相交直線垂直,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可知ED⊥平面ABCD,則ED⊥BC,根據(jù)勾股定理可知BC⊥BD,滿足定理所需條件;
          (Ⅱ)DE,DA,DC兩兩垂直,以D為頂點(diǎn),DA,DC,DE分別為x軸y軸z軸,建立直角坐標(biāo)系D-xyz,求出D,A,E,B,F(xiàn),以及
          EF
          ,
          EB
          ,設(shè)P(o,y,z)通過(guò)|y|=|z|.設(shè)
          n
          =(x′,y′,z′)
          是平面BEF的法向量,利用
          n
          EF
          =0
          n
          EB
          =0
          ,求出
          n
          ,推出
          AP
          n
          所成的角為60°或120°.通過(guò)cos
          AP
          ,
          n
          =
          AP
          n
          |
          AP
          || 
          n
          |
          和y|=|z|.求出P的坐標(biāo).
          解答:解:(Ⅰ)在正方形ADEF中,ED⊥AD.
          又因?yàn)槠矫鍭DEF⊥平面ABCD,且平面ADEF∩平面ABCD=AD,
          所以ED⊥平面ABCD.
          所以ED⊥BC.(3分)
          在直角梯形ABCD中,AB=AD=1,CD=2,可得BC=
          2

          在△BCD中,BD=BC=
          2
          ,CD=2

          所以BD2+BC2=CD2
          所以BC⊥BD.(5分)
          所以BC⊥平面BDE.(6分)
          (Ⅱ)DE,DA,DC兩兩垂直,以D為頂點(diǎn),DA,DC,DE分別為x軸y軸z軸,建立直角坐標(biāo)系D-xyz,
          則D(0,0,0),A(2,0,0),E(0,0,2),B(2,2,0),F(xiàn)(2,0,2)
          EF
          =(2,0,0),
          EB
          =(2,2,-2)
          設(shè)P(o,y,z)則|y|=|z|.
          n
          =(x′,y′,z′)
          是平面BEF的法向量,則
          n
          EF
          =0
          n
          EB
          =0
          ,
          2x′=0
          2x′+2y′-2z′=0

          令y′=1,得
          x′=0
          y′=1
          z′=1

          n
          =(0,1,1)

          ∵AP與平面BEF所成的角等于30°
          AP
          n
          所成的角為60°或120°.
          ∴cos
          AP
          n
          =
          AP
          n
          |
          AP
          || 
          n
          |
          =
          |y+z|
          4+y2+z2
          2
          =
          1
          2

          ∴y2+z2+4yz-4=0
          又∵|y|=|z|.
          ∴y=z或y=-z,當(dāng)y=z時(shí)y=z=±
          6
          3

          當(dāng)y=-z時(shí),上式無(wú)解,
          ∴P(0,
          6
          3
          6
          3
          ),或P(0,-
          6
          3
          ,-
          6
          3
          ).
          點(diǎn)評(píng):本題考查直線與平面垂直,直線與平面所成的角,空間向量的運(yùn)算,考查空間想象能力,計(jì)算能力已經(jīng)邏輯推理能力.
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          (I)求證:平面AEF⊥平面BDG;
          (II)若存在λ>0使得
          AK
          =λ
          AE
          ,二面角A-BG-K的大小為60°,求λ的值.

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             (I)求證:平面AEF⊥平面BDG;

             (II)若存在使得,二面角A—BG—K的大小為,求的值。

           

           

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             (I)求證:平面AEF⊥平面BDG;

             (II)若存在使得,二面角A—BG—K的大小為,求的值。

           

           

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             (I)求證:平面AEF⊥平面BDG;

             (II)若存在使得,二面角A—BG—K的大小為,求的值。

           

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          如圖,多面體ABCD-EFC中,底面ABCD為正方形,GD∥FC∥AE,AE⊥平面ABCD,其正視圖、俯視圖如下,
          (Ⅰ)求證:平面AEF⊥平面BDG;
          (Ⅱ)若存在λ>0,使,KF與平面ABG所成角為30°,求λ的值。

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