Question

【題目】（本題滿(mǎn)分16分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，離心率為的橢圓 的左頂點(diǎn)為，過(guò)原點(diǎn)的直線（與坐標(biāo)軸不重合）與橢圓交于兩點(diǎn)，直線分別與軸交于兩點(diǎn)．若直線斜率為時(shí)， ．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）試問(wèn)以為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（與直線的斜率無(wú)關(guān)）？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）（2）過(guò)定點(diǎn)．

【解析】試題分析：（1）因?yàn)殡x心率為，所以要確定橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，只需再確定一個(gè)獨(dú)立條件，即點(diǎn)P坐標(biāo)：根據(jù)點(diǎn)斜率為且可求，所以，又，解得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）用點(diǎn)P坐標(biāo)表示出的坐標(biāo)及以為直徑的圓的方程：設(shè)，則直線方程為： ，∴，直線方程為： ，∴，以為直徑的圓為，利用化簡(jiǎn)得，所以動(dòng)圓必過(guò)與的交點(diǎn)

試題解析：解：（1）設(shè)，

∵直線斜率為時(shí)， ，∴，∴３分

∴，∵，∴．

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． ６分

（2）以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)．

設(shè)，則，且，即，

∵，∴直線方程為： ，∴，

直線方程為： ，∴， ９分

以為直徑的圓為

即， 12分

∵，∴，

令，，解得，

∴以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)． 16分