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        1. 已知A、B是拋物線y2=2px(p>0)上異于原點(diǎn)O的兩點(diǎn),則“
          OA
          OB
          =0
          ”是“直線AB恒過(guò)定點(diǎn)(2p,0)”的( 。
          分析:根據(jù)題意,利用拋物線方程設(shè)出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)向量共線的條件列式并利用拋物線方程化簡(jiǎn)整理,對(duì)充分性和必要性分別加以論證,可得答案.
          解答:解:設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為A(
          1
          2p
          y12,y1),B(
          1
          2p
          y22,y2
          充分性:若“
          OA
          OB
          =0
          ”成立,則
          1
          2p
          y12
          1
          2p
          y22+y1y2=0,結(jié)合y1y2不等于0得
          1
          4p2
          y1y2+1=0
          ∴y1y2=-4p2
          設(shè)C(2p,0),可得向量
          AC
          =(2p-
          1
          2p
          y12,-y1),
          BC
          =(2p-
          1
          2p
          y22,-y2),
          ∵(2p-
          1
          2p
          y12)(-y2)-(-y1)(2p-
          1
          2p
          y22
          =2p(y1-y2)+
          1
          2p
          y12y2-2p-
          1
          2p
          y22y1=
          1
          2p
          (y1-y2)(4p2+y1y2)=
          1
          2p
          (y1-y2)(4p2-4p2)=0
          AC
          BC
          共線,可得直線AB一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(2p,0),
          結(jié)論“直線AB恒過(guò)定點(diǎn)(2p,0)”成立,可得充分性成立
          必要性:若“直線AB恒過(guò)定點(diǎn)(2p,0)”成立,
          設(shè)C(2p,0),則向量
          AC
          =(2p-
          1
          2p
          y12,-y1),
          BC
          =(2p-
          1
          2p
          y22,-y2),
          AC
          BC
          共線,
          ∴(2p-
          1
          2p
          y12)(-y2)-(-y1)(2p-
          1
          2p
          y22)=0
          化簡(jiǎn)得
          1
          2p
          (y1-y2)(4p2+y1y2)=0,
          由于y1-y2不可能為0,所以4p2+y1y2=0,可得y1y2=-4p2
          因此,
          OA
          OB
          =
          1
          2p
          y12
          1
          2p
          y22+y1y2=y1y2
          1
          4p2
          y1y2+1)=0,
          即結(jié)合“
          OA
          OB
          =0
          ”成立,故必要性成立
          故選:C
          點(diǎn)評(píng):本題給出拋物線方程,判定關(guān)于直線過(guò)定點(diǎn)的一個(gè)充分必要條件.著重考查了拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、向量共線的條件和充要條件的證明等知識(shí),屬于中檔題.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知A、B是拋物線y2=4x上的兩點(diǎn),O是拋物線的頂點(diǎn),OA⊥OB.
          (I)求證:直線AB過(guò)定點(diǎn)M(4,0);
          (II)設(shè)弦AB的中點(diǎn)為P,求點(diǎn)P到直線x-y=0的距離的最小值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知A,B是拋物線x2=2py(p>0)上的兩點(diǎn),F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn),l為拋物線的準(zhǔn)線.
          (1)若過(guò)A點(diǎn)的拋物線的切線與y軸相交于C點(diǎn),求證:|AF|=|CF|;
          (2)若
          OA
          OB
          +p2=0
          (A、B異于原點(diǎn)),直線OB與過(guò)A且垂直于X軸的直線m相交于P點(diǎn),求P點(diǎn)軌跡方程;
          (3)若直線AB過(guò)拋物線的焦點(diǎn),分別過(guò)A、B點(diǎn)的拋物線的切線相交于點(diǎn)T,求證:
          AT
          BT
          =0
          ,并且點(diǎn)T在l上.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2009•青浦區(qū)二模)(理)已知A、B是拋物線y2=4x上的相異兩點(diǎn).
          (1)設(shè)過(guò)點(diǎn)A且斜率為-1的直線l1,與過(guò)點(diǎn)B且斜率為1的直線l2相交于點(diǎn)P(4,4),求直線AB的斜率;
          (2)問(wèn)題(1)的條件中出現(xiàn)了這樣的幾個(gè)要素:已知圓錐曲線Γ,過(guò)該圓錐曲線上的相異兩點(diǎn)A、B所作的兩條直線l1、l2相交于圓錐曲線Γ上一點(diǎn);結(jié)論是關(guān)于直線AB的斜率的值.請(qǐng)你對(duì)問(wèn)題(1)作適當(dāng)推廣,并給予解答;
          (3)若線段AB(不平行于y軸)的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)Q(x0,0).若x0=5,試用線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)表示線段AB的長(zhǎng)度,并求出中點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2009•青浦區(qū)二模)(文)已知A、B是拋物線y2=4x上的相異兩點(diǎn).
          (1)設(shè)過(guò)點(diǎn)A且斜率為-1的直線l1,與過(guò)點(diǎn)B且斜率為1的直線l2相交于點(diǎn)P(4,4),求直線AB的斜率;
          (2)問(wèn)題(1)的條件中出現(xiàn)了這樣的幾個(gè)要素:已知圓錐曲線Γ,過(guò)該圓錐曲線上的相異兩點(diǎn)A、B所作的兩條直線l1、l2相交于圓錐曲線Γ上一點(diǎn);結(jié)論是關(guān)于直線AB的斜率的值.請(qǐng)你對(duì)問(wèn)題(1)作適當(dāng)推廣,并給予解答;
          (3)若線段AB(不平行于y軸)的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)Q(x0,0).若x0>2,試用x0表示線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo).

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知A,B是拋物線x2=2py(p>0)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),非零向量
          OA
           
          OB
          滿足|
          OA
          +
          OB
          |=|
          OA
          -
          OB
          |

          (Ⅰ)求證:直線AB經(jīng)過(guò)一定點(diǎn);
          (Ⅱ)當(dāng)AB的中點(diǎn)到直線y-2x=0的距離的最小值為
          2
          5
          5
          時(shí),求p的值.

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          同步練習(xí)冊(cè)答案